正カレントのソースを表示

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数学、特に[[複素幾何学]]、[[代数幾何学]]、[[複素解析]]では、'''正カレント'''(positive current)は、n-次元[[複素多様体]]上の分布(distribution)に値を取る[[正形式|正]](positive)な (n-p, n-p)-形式のことである。

公式な定義をするために、多様体 M 上の[[カレント (数学)|カレント]]は（定義により）分布に係数を持つ微分形式である。M 上で積分すると、カレントを「積分のカレント」として、つまり、汎函数

:<math>\eta \mapsto \int_M \eta\wedge \rho</math>

として考えることができ、コンパクトな台を持つ微分可能な形式である。このカレントという方法は、双対空間の元として考えることもできて、コンパクトな台を持つ微分形式 <math>\Lambda_c^*(M)</math> と考えることもできる。

さて、M を複素多様体とすると、カレント上で[[ホッジ理論#ホッジ分解|ホッジ分解]] <math>\Lambda^i(M)=\bigoplus_{p+q=i}\Lambda^{p,q}(M)</math> を、自然な方法で定義することができる。自然な方法とは、(p,q)-カレントが <math>\Lambda_c^{p, q}(M)</math> 上の汎函数となることである。

'''正カレント'''は、ホッジタイプ (p, p) の実[[カレント (数学)|カレント]]として定義され、[[正形式|正]] (p, p)-形式のすべてで非負な値を持つ。
<!--== positive current ==

In mathematics, more particularly in [[complex geometry]],
[[algebraic geometry]] and [[complex analysis]], a '''positive current'''
is a [[positive form|positive]] (''n-p'',''n-p'')-form over an ''n''-dimensional [[complex manifold]],
taking values in distributions.

For a formal definition, consider a manifold ''M''.
[[Current (mathematics)|Current]]s on ''M'' are (by definition)
differential forms with coefficients in distributions. ; integrating
over ''M'', we may consider currents as "currents of integration",
that is, functionals 

:<math>\eta \mapsto \int_M \eta\wedge \rho</math>

on smooth forms with compact support. This way, currents
are considered as elements in the dual space to the space
<math>\Lambda_c^*(M)</math> of forms with compact support.

Now, let ''M'' be a complex manifold.
The [[De Rham cohomology#Hodge_decomposition|Hodge decomposition]] <math>\Lambda^i(M)=\bigoplus_{p+q=i}\Lambda^{p,q}(M)</math>
is defined on currents, in a natural way, the ''(p,q)''-currents being
functionals on <math>\Lambda_c^{p, q}(M)</math>.

A '''positive current''' is defined as a real [[Current (mathematics)|current]] 
of Hodge type ''(p,p)'', taking non-negative values on all [[positive form|positive]]
''(p,p)''-forms.-->

== ケーラー多様体の特徴付け ==

[[ハーン・バナッハの定理]]を使い、ハーヴェイ(Harvey)とローソン(Lawson)は、[[ケーラー多様体|ケーラー計量]]が存在するための次の条件を証明した<ref>R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.</ref>。


'''定理:''' M をコンパクト複素多様体とすると、M が[[ケーラー多様体|ケーラー構造]]を持ち得ないことと、M が非零な正の (1,1)-カレント <math>\Theta</math> で (1,1)-部分が完全 2-カレントであるようなものを持つこととは同値である。

[[ド・ラームコホモロジー|ド・ラーム微分]]が 3-カレントを 2-カレントへ写すことに注意すると、<math>\Theta</math> は 3-カレントの微分である。<math>\Theta</math> が[[リーマン面|複素曲線]]の積分カレントであれば、曲線がバウンダリの (1,1)-部分であることを意味する。

M が全射である写像 <math>\pi:\; M \mapsto X</math> であり、1-次元ファイバーを持つ[[ケーラー多様体]]への写像とすると、この定理は複素代数幾何学の次の結果を導く。


'''系:''' この状況下で、M がケーラーでないことと、<math>\pi</math> の生成ファイバーの[[ホモロジー類]]がバウンダリの (1,1)-部分であること同値である。
<!--== Characterization of [[Kähler manifold]]s ==

Using the [[Hahn–Banach theorem]], Harvey and Lawson proved the following criterion of existence of  [[Kähler manifold|Kähler metrics]].<ref>R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.</ref>


'''Theorem:''' Let ''M'' be a compact complex manifold. Then ''M'' does not admit a [[Kähler manifold|Kähler structure]] if and only if ''M'' admits a non-zero positive (1,1)-current <math>\Theta</math> which is a (1,1)-part of an exact 2-current.


Note that the [[de Rham cohomology|de Rham differential]] maps 3-currents to 2-currents, hence <math>\Theta</math> is a differential of a 3-current; if <math>\Theta</math> is a current of integration of a [[Riemann surface|complex curve]], this means that this curve is a (1,1)-part of a boundary.

When ''M'' admits a surjective map <math>\pi:\; M \mapsto X</math> to a [[Kähler manifold]] with 1-dimensional fibers, this theorem leads to the following result of complex algebraic geometry.


'''Corollary:''' In this situation, ''M'' is non-[[Kähler manifold|Kähler]] if and only if the [[homology class]] of a generic fiber of <math>\pi</math> is a (1,1)-part of a boundary.-->

== 脚注 ==
<references />

==参考文献==
*Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), ''Principles of Algebraic Geometry'', Wiley. ISBN 0-471-32792-1
*J.-P. Demailly, ''[https://arxiv.org/abs/alg-geom/9410022 $L^2$ vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory, Lecture Notes of a CIME course on "Transcendental Methods of Algebraic Geometry" (Cetraro, Italy, July 1994)]''

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{{DEFAULTSORT:せいかれんと}}
[[Category:多変数複素函数論]]
[[Category:複素多様体]]
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