正三角形のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年10月}}
{{Expand English|Equilateral triangle|date=2024年5月}}
{{Infobox polygon
| name      = 正三角形
| image     = Triangle.Equilateral.svg
| type      = [[正多角形]]
| edges     = 3
| schläfli  = {3}
| coxeter   = {{CDD|node_1|3|node}}
| symmetry  = [[二面体群|D<sub>3</sub>]]
| area      = <math>\tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>
| angle     = 60°}}
'''正三角形'''（せいさんかくけい、{{lang-en-short|equilateral triangle}}）は、[[正多角形]]である[[三角形]]である。つまり、3本の[[辺]]の長さが全て等しい[[三角形]]である。3つの[[角度|内角]]の大きさが全て等しい三角形と定義してもよい。1つの内角は 60°（''π''/3 [[ラジアン|rad]]）である。また一つの内角が60°である[[二等辺三角形]]は正三角形となる。

== 計量 ==
一辺を ''a'' とすると、
{| class="wikitable"
|-
| [[面積]] || <math>\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \approx 0.433 a^2</math>
|-
| [[高さ]] || <math>\frac{\sqrt{3}}{2} a \approx 0.866 a</math>
|-
| [[内接円]]の半径 || <math>\frac{1}{2 \sqrt 3} a \approx 0.289 a</math>
|-
| [[外接円]]の半径 || <math>\frac{1}{\sqrt{3}} a \approx 0.577 a</math>
|-
| 内角 || <math> \frac{\pi}{3} = 60^\circ </math>
|}

== 座標 ==
[[複素数平面]]上で正三角形の重心を0、一つの頂点を1とすると、他の2つの頂点は[[1の原始冪根|1の虚立方根]] ω および ω<sup>2</sup> である。

三角形の頂点を<math>A\left(\frac{a}{\sqrt{3}},0\right), B\left(-\frac{a}{2\sqrt{3}},\frac{a}{2}\right), C\left(-\frac{a}{2\sqrt{3}},-\frac{a}{2}\right)</math> とすれば辺の長さaの正三角形となる。

<math>x\ge -\frac{a}{2\sqrt{3}}, y\ge \frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{a}{3}, y\le -\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{a}{3}</math> で囲まれる領域は辺の長さaの正三角形となる。

== 対称性 ==
[[線対称]]な図形であり、その[[対称軸]]は各[[頂点]]から向かい合った辺に下ろした垂線で3本ある。三角形の中では最も対称軸の本数が多い。[[点対称]]な図形ではないが[[重心]]を中心とした120°の[[回転対称]]である。

[[三角形#内心|内心]]、[[三角形#外心|外心]]、[[三角形#垂心|垂心]]、[[三角形#重心|重心]]が全て一点に集まっている唯一の三角形である。内心と外心が一致することから角の[[二等分線]]と対辺の[[垂直二等分線]]が一致し、この線で正三角形を2つにわけて得られる[[直角三角形]]は[[三角定規]]の1つに用いられている。

== その他の性質 ==
正多角形のうち平面を隙間なく敷き詰めることのできる図形は正三角形、[[正方形]]、[[正六角形]]の三つのみである。 また正多角形のうち[[正多面体]]の面になりうるものは正三角形、正方形、[[正五角形]]の三つのみであり、そのうち面が正三角形であるものは[[正四面体]]、[[正八面体]]、[[正二十面体]]である。

正三角形を1つの頂点が互いに全て重なるように6つ敷き詰めると正六角形ができる。これは（1種類の）正多角形を敷き詰めることで別の正多角形を作る唯一の方法である。2種類以上の正多角形を使ってよい場合、正六角形を、6つずつの正方形と正三角形を交互で囲うように敷き詰めて正十二角形を作れる。

正三角形は定規とコンパスだけを用いて[[作図]]が可能である。''n'' が[[素数]]である正 ''n'' 角形のうち、このような作図が可能なのは ''n'' が[[フェルマー素数]]である場合に限られる。

== 直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図 ==
[[File:TomoyukiMogi Make An Equilateral Triangle.gif|thumb|right|直角二等辺三角形を利用した正三角形の作図]]
互いに合同な[[直角二等辺三角形]]を複数配置することで正三角形の作図が可能である。

辺の長さが1,1,<math>\sqrt{2}</math>の直角二等辺三角形を用いて一辺の長さが2となる正三角形を作図できる。

底辺の長さが<math>\sqrt{2}</math>で高さが１の[[直角三角形]]の斜辺の長さが<math>\sqrt{3}</math>となることを応用する。

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== 関連項目 ==
{{Commonscat|Equilateral triangles}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}
{{Refbegin|2}}
* [[三角形]]
* [[正多角形]]
* [[二等辺三角形]]
* [[冬の大三角]]
* [[三角 (記号)]]
{{Refend}}
{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:せいさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[pt:Triângulo#Tipos de triângulos]]