正五胞体のソースを表示

{{出典の明記|date=2021年9月11日 (土) 13:47 (UTC)}}
[[画像:Cell5-4dpolytope.png|thumb|正五胞体の[[投影図]]の例]]
'''正五胞体'''（せいごほうたい、{{lang-en-short|5-cell, regular pentachoron}}）は、4次元[[正多胞体]]のうち、[[胞]]が5つあるもの。つまり、全ての胞が合同な[[正四面体]]からなる[[五胞体]]である。

4次元[[正単体]]。つまり、2次元での[[正三角形]]、3次元での正四面体にあたる4次元図形である。

五胞体の「組合せ的構造」は1種類しかなく、すべての五胞体は正五胞体に「組合せ的に」等しい（[[組合せ同値]]であるという）。

==性質==
*[[シュレーフリ記号]]は {3,3,3}。
*胞は正四面体、面は正三角形、辺は[[線分]]である。
*''n'' 次元面の数は <math>{}_5\mathrm{C}_{n+1}</math> である。つまり、[[頂点]]と胞はそれぞれ5つ、[[辺]]と[[多胞体の面|面]]はそれぞれ10である。これらは[[パスカルの三角形]]の第6段の2～5番目の数字である。
*[[頂点形状]]は正四面体である。頂点には4つの辺、6つの面、4つの胞が集まり、これらは正四面体の頂点と辺と面の数（パスカルの三角形の第5段の2～4番目の数字）に対応している。座標は {{math|(1, 0, 0, 0)}} の置換（4個）と、{{math|&phi;}} を[[黄金比]]として {{math|(1/2-&phi;/2, 1/2-&phi;/2, 1/2-&phi;/2, 1/2-&phi;/2,)}} の1個である<ref>{{cite|和書 |editor= |author=宮崎興二 |title=4次元図形百科  |edition= |publisher=丸善出版 |year=2020 |isbn=978-4-621-30482-2  |page=83}}</ref>。
*辺形状は正三角形である。辺には面と胞が3つずつ集まり、これらは正三角形の頂点と辺の数（パスカルの三角形の第4段の2, 3番目の数字）に対応している。
*面形状は線分である。面には胞が2つずつ集まり、これは線分の端点の数（パスカルの三角形の第3段の2番目の数字）に対応している。
*[[自己双対多胞体]]である。つまり、自らと[[双対]]である。なお4次元正多胞体の中では、正五胞体と[[正二十四胞体]]が自己双対である。
*[[ペトリー多面体]]（[[ペトリー多角形]]の4次元版）は[[正八面体]]である。一般に正単体のペトリー多胞体は[[正軸体]]で、正四面体のペトリー多面体が[[正方形]]であることに対応している。
*[[展開図]]を[[ダ・ヴィンチの星]]型に作ることができる（他の形も可能である）。

==計量==
辺の長さを <math>a</math> とする。
*超体積: <math> \frac{\sqrt{5}}{96} a^4 \approx 0.023292375 a^4 </math>
*超表面積: <math> \frac{{5\sqrt{2}}}{12} a^3 \approx 0.589255659 a^3 </math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{多胞体}}

{{DEFAULTSORT:せいこほうたい}}
[[Category:正多胞体]]
[[Category:自己双対多胞体]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[en:5-cell]]