正八面体のソースを表示

{{Infobox polyhedron
| Image_File=Octahedron.jpg
| Animation_File=Octahedron.gif
| Polyhedron_Type=[[正多面体]]、[[デルタ多面体]]、[[八面体]]
| Face_Count=8
| Face_List=[[正三角形]]
| Edge_Count=12
| Vertex_Count=6
| Vertex_List=3, 3, 3, 3<br>3<sup>4</sup>
| Vertex_Image_File=Octahedron vertfig.svg
| wythoff=<nowiki>4 | 2 3</nowiki>
| schlafli={3, 4}
| symmetry=[[シェーンフリース記号|O<sub>h</sub>]]
| dual=[[正六面体]]
| Property_List=[[凸集合]]
| Net_Image_File=Octahedron flat.svg
}}

[[Image:A3-P5-P3.gif|right|thumb|正八面体⇔[[正二十面体]]⇔[[立方八面体]]という変形]]

'''正八面体'''（せいはちめんたい、{{Lang-en-short|regular [[倍数接頭辞|octa]]<nowiki />hedron}}）とは、[[正多面体]]の一種であり、8枚の[[正三角形]]から成り立つ[[立体]]である。

正多面体のひとつの[[正六面体]]のすべての頂点まわりを各面の中心まで[[切頂六面体|切頂]]することによって得られる。（双対関係）

[[正四面体]]の各頂点を辺の中心まで切り落とした形でもある。

== 性質 ==
* [[双角錐|双四角錐]]、[[反角柱|反三角柱]]の特殊な形。
* 向かい合う面は[[平行]]である。
* [[展開図]]の数は11種類。
* [[星型多面体|星形化]]すると[[星型八面体]]となる。
* 面の数は8、辺の数は12、頂点の数は6。これらは{{仮リンク|パスカルのピラミッド|en|Pascal's pyramid}}の第4段（Layer 3）の三角形の各段の数字の総和に等しい。反対側の面の中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、面、辺、頂点は各段の数字通りのグループに分割される。
* 頂点形状は[[正方形]]であり、4本の辺と4枚の正三角形が集まる。これらはパスカルのピラミッドの第3段（Layer 2）の三角形の各段の数字の総和に等しい。
* 単独で[[空間充填]]は出来ないが、[[正四面体]]と組み合わせた空間充填は可能である。
* 下図に示すように、[[正六面体]]と[[双対多面体|双対]]である。

{|class="wikitable"
|-align=center
|[[File:Dual Cube-Octahedron.svg|240px]][[File:Dualoctaedre.png|240px]][[File:Polyhedron_pair_6-8.png|240px]]<br>正六面体との双対関係
|}

== 計量 ==
{|class="wikitable"
|面の[[面積]]
|<math> A={\sqrt{3}\over4}a^2</math>
|-
|[[表面積]]
|<math> S=8A=2\sqrt{3}a^2</math>
|-
|[[体積]]
|<math> V=\frac{1}{3}Sr={1\over3}\sqrt{2}a^3</math>
|-
|[[対角線]]の長さ
|<math> d=\sqrt{2}a</math>
|-
|[[外接球]]半径
|<math> R=\frac{d}{2}={a\over\sqrt{2}}</math>
|-
|[[内接球]]半径
|<math> r={a\over\sqrt{6}}</math>
|}

== 近縁な立体 ==
=== 星型 ===
<gallery>
Image:Stella_octangula.png|[[星型八面体]]
</gallery>

=== 頂点と辺が共通となる立体 ===
<gallery>
Image:Tetrahemihexahedron.png|[[四面半六面体]]
</gallery>

=== ジョンソンの立体 ===
<gallery>
Image:Square_pyramid.png|[[正四角錐]]<br><small>（半分に割る）</small>
Image:Elongated_square_dipyramid.png|[[双四角錐柱]]<br><small>（間に正四角柱を挟む）</small>
Image:Gyroelongated_square_dipyramid.png|[[双四角錐反柱]]<br><small>（片側を45°捻り、間に正反四角柱を挟む）</small>
Image:Triangular_dipyramid.png|[[双三角錐]]<br><small>（錐の角の数を減らす）</small>
Image:Pentagonal_dipyramid.png|[[双五角錐]]<br><small>（錐の角の数を増やす）</small>
</gallery>

=== その他 ===
<gallery>
Image:Tetrahedron.jpg|[[正四面体]]<br>{3, 3}<br><small>（ベースの形）</small>
Image:Truncatedtetrahedron.jpg|[[切頂四面体]]<br>t{3, 3}<br><small>（正四面体との中間にあたる）</small>
Image:Truncatedoctahedron.jpg|[[切頂八面体]]<br>t{3, 4}<br><small>（切頂する）</small>
Image:Cuboctahedron.jpg|[[立方八面体]]<br>r{4, 3} = r{3, 4}<br><small>（深く切頂する）</small>
Image:Truncatedcuboctahedron.jpg|[[斜方切頂立方八面体]]<br>tr{4, 3}<br><small>（頂点と辺を削る）</small>
Image:Rhombicuboctahedron.jpg|[[斜方立方八面体]]<br>rr{4, 3}<br><small>（Expansionを行う）</small>
Image:Snubhexahedroncw.jpg|[[変形立方体]]<br>sr{4, 3}<br><small>（面をねじる）</small>
Image:Icosahedron.jpg|[[正二十面体]]<br>s{4, 3}<br><small>（面を隣り合う面同士で逆方向にねじる）</small>
Image:Triakisoctahedron.jpg|[[三方八面体]]<br><small>（各面の中心を持ち上げる）</small>
Image:Rhombicdodecahedron.jpg|[[菱形十二面体]]<br><small>（各面の中心を更に持ち上げる）</small>
Image:Disdyakisdodecahedron.jpg|[[六方八面体]]<br><small>（各面と各辺の中心を持ち上げる）</small>
Image:Deltoidalicositetrahedron.jpg|[[凧形二十四面体]]<br><small>（各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）</small>
Image:Pentagonalicositetrahedroncw.jpg|[[五角二十四面体]]<br><small>（頂点をねじる）</small>
Image:Dual compound 8 max.png|正六面体と正八面体による[[複合多面体]]
Image:Compound_of_five_octahedra.png|5個の正八面体による複合多面体
Image:UC14-20_octahedra.png|20個の正八面体による複合多面体
Image:Cubohemioctahedron.png|[[立方半八面体]]
Image:Octahemioctahedron.png|[[八面半八面体]]
Image:Schlegel wireframe 24-cell.png|[[正二十四胞体]]<br><small>（16個を4次元空間内で貼り合わせる）</small>
</gallery>

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
* [[スキューブダイアモンド]]
* [[双錐体]]
* [[中心つき八面体数]]
* [[柱体]]
* [[八面体形分子構造]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Octahedron|urlname=Octahedron}}
* {{MathWorld|title=Regular Octahedron|urlname=RegularOctahedron}}
* {{MathWorld|title=Octahedral Graph|urlname=OctahedralGraph}}
* {{MathWorld|title=Octahedral Group|urlname=OctahedralGroup}}

{{Commonscat|Octahedron|八面体}}
{{多面体}}
{{Polyhedron-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せいはちめんたい}}
[[Category:角柱・角錐]]
[[Category:正多面体]]
[[Category:デルタ多面体]]
[[Category:数学に関する記事]]