正則局所環のソースを表示

[[可換環論]]において、'''正則局所環'''（せいそくきょくしょかん、{{lang-en-short|regular local ring}}）とは、ネーター[[局所環]] <math>(A, \mathfrak{m})</math> であって、[[剰余体]] <math>k=A/\mathfrak{m}</math> について <math>\dim A = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> を満たすような環である{{refnest|一般のネーター局所環に対しては <math>\dim A \leq \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> が成り立つ{{sfn|堀田|2006|p=130|loc=系7.13}}。}}{{sfn|堀田|2006|p=130|loc=定義7.14}}。ただし左辺は {{mvar|A}} の[[クルル次元]]、右辺は {{mvar|k}} [[ベクトル空間]]としての[[ハメル次元|次元]]である。右辺の数はしばしば埋め込み次元（{{lang-en-short|embedding dimension}}）と呼ばれ <math>\operatorname{emb\,dim} A</math> と書かれることもある{{sfn|Matsumura|1986|p=104}}。

正則局所環は[[代数幾何学]]において[[代数多様体]]の[[非特異点]]に対応するため中心的な役割を占める{{sfn|Eisenbud|1995|p=242}}。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
:{{仮リンク|強鎖状環|en|universally catenary ring}} &sup; [[コーエン・マコーレー環]] &sup; [[ゴレンシュタイン環]] &sup; [[完全交叉環]] &sup; '''正則局所環'''

== 例 ==
以下ではクルル次元のことを単に次元と呼ぶ。
* すべての[[可換体|体]]は0次元の正則局所環であり、0次元の正則局所環は体である。
* すべての[[離散付値環]]は1次元の正則局所環であり、1次元の正則局所環は離散付値環である{{sfn|堀田|2006|p=131|loc=例7.18}}。特に {{mvar|k}} が体で {{mvar|X}} を不定元とするとき[[形式的冪級数環]] {{math|''k''{{brackets|''X''}}}} は1次元の正則局所環である。
* より一般に {{mvar|k}} が体で {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''d''</sub>}} を不定元とするとき形式的冪級数環 {{math|''k''{{brackets|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''d''</sub>}}}} は {{mvar|d}} 次元の正則局所環である。
* {{mvar|p}} を有理素数とすれば、[[p進整数|{{mvar|p}}進整数環]]は離散付値環ゆえ正則局所環であり、体を含まない。
* {{math|'''Z'''}} を整数環とし {{mvar|X}} を不定元とすると局所化 {{math|'''Z'''{{brackets|''X''}}<sub>(2, ''X'')</sub>}} は2次元正則局所環で体を含まない。
* {{仮リンク|コーエンの構造定理|en|Cohen structure theorem}}により[[完備化 (環論)|完備]]な等標数の {{mvar|d}} 次元正則局所環で体を含むものはある体上の形式的冪級数環である。

== 特徴付け ==
次元 <math>d = \dim A</math> のネーター局所環 <math>(A, \mathfrak{m})</math> について、次は同値である{{sfn|堀田|2006|p=130|loc=定理7.15}}{{sfn|Matsumura|1986|loc=Theorem 19.2 (Serre)}}。
* {{mvar|A}} は正則局所環。
*  <math>\mathfrak{m}</math> は {{mvar|d}} 個の元で生成される。
*  <math>\mathrm{gr}_{\mathfrak{m}}\,A \simeq k[X_1, X_2, \dots, X_d]</math>。ただし、右辺は {{mvar|d}} 不定元の多項式代数で同型は <math>k = A/\mathfrak{m}</math> 上の[[次数環]]としてのものとする。
* [[大域次元]]が有限である：<math>\operatorname{gl\,dim}A < \infty</math>。
* 大域次元とクルル次元が一致する：<math>\operatorname{gl\,dim}A = d</math>。

== 性質 ==
* ネーター局所環が正則であることとその完備化が正則であることは同値である{{sfn|堀田|2006|p=131|loc=系7.16}}。
* 正則局所環は[[一意分解整域]]である{{sfn|Matsumura|1986|loc=Theorem 20.3 (Auslander and Buchsbaum)}}。
* {{mvar|A}} が[[局所環]]ならば形式的冪級数環 {{math|''A''{{brackets|''X''}}}} は正則局所環である。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|last1     = 堀田
|first1    = 良之
|author    = 堀田良之
|year      = 2006
|title     = 可換環と体
|publisher = [[岩波書店]]
|isbn      = 4-00-005198-9
|ref       = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Eisenbud
|first1     = David
|year       = 1995
|title      = Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry
|series     = Graduate Texts in Mathematics
|volume     = 150
|url        = {{google books|Fm_yPgZBucMC|Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 3-540-94268-8
|zbl        = 0819.13001 
|ref        = harv
}}
* {{cite book
|last1      = Matsumura
|first1     = Hideyuki
|year       = 1986
|title      = Commutative ring theory
|series     = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|volume     = 8
|url        = {{google books|yJwNrABugDEC|Commutative ring theory|plainurl=yes}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 0-521-36764-6
|zbl         = 00043569
|ref        = harv
}}

{{デフォルトソート:せいそくきよくしよかん}}
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]