正則性公理のソースを表示

'''正則性公理'''（せいそくせいこうり、{{lang-en-short|axiom of regularity}}）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、{{lang-en-short|axiom of foundation}}） とも呼ばれ、[[ツェルメロ・フレンケルの公理系|ZF公理系]]を構成する[[公理]]の一つで、[[1925年]]に[[ジョン・フォン・ノイマン]]によって導入された。[[選択公理]]と同様、様々な[[同値]]な[[命題]]が存在する。

==定義==
[[空集合|空]]でない[[集合]]は必ず自分自身と交わらない[[元 (数学)|要素]]を持つ。

:<math>\forall A \bigl(A\neq\varnothing \implies \exists x \in A, \forall t \in A (t\notin x)\bigr)</math>

以下の3つの主張はいずれも[[ツェルメロ・フレンケルの公理系|ZF公理系]]の他の公理の元で同値であり、どれを'''正則性公理'''として採用しても差し支えない<ref>{{Harvnb|Kunen|1980|loc=Ⅲ, §4.1|p=101}}</ref>。

*{{math|∀''x'' ≠ ∅}} に対して、{{math|∃''y''∈''x''; ''x'' ∩ ''y'' {{=}} ∅}}
*{{math|∀''x''}}について、{{math|∈}} が {{mvar|x}} 上[[整礎関係]]
*{{math|''V'' {{=}} ''WF''}}

ここで、{{mvar|V}} は[[集合論]]の[[宇宙 (数学)|宇宙]]を指し、{{mvar|WF}} は[[整礎的集合]]全体の[[クラス (集合論)|クラス]]（[[フォン・ノイマン宇宙]]）を指す。

ZF公理系内に限って話を進める。各[[順序数]] {{mvar|α}} に対して {{math|''R''(''α'')}} を次のように定義する（<math>\mathcal{P}</math> は冪集合）。

# <math>R(0) = \varnothing</math>
# <math>R(\alpha+1) = \mathcal{P}(R(\alpha))</math>
# {{mvar|α}} が[[極限順序数]]のとき、<math>R(\alpha) = \bigcup_{\beta<\alpha} R(\beta)</math>

[[クラス (集合論)|クラス]] {{mvar|WF}} はこれらを全て集めたものとして定義される。
:<math>\mathit{WF} = \bigcup_{\alpha \in \mathit{ON}} R(\alpha)</math>

ZF公理系の他の公理から得られる種々の[[集合演算]]([[順序集合|対集合]]、[[和集合]]、[[冪集合]]) の結果としての集合は常に {{Mvar|WF}} 内に含まれる。すなわち {{math|''V'' {{=}} ''WF''}} の仮定は、全ての集合を {{math|∅}} に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えば{{math|''x'' {{=}} {{mset|''x''}}}}のような集合や{{math|''x'' ∈ ''y''}}かつ{{math|''y''∈ ''x''}}なる集合は[[正面性|正則性]]の公理の下では集合にはなり得ない。
<!--
{{mvar|WF}}は通常の[[演算|集合演算]]に関して閉じているため、{{mvar|WF}}公理系から得られる全ての真なる命題が[[ZF公理系|{{Mvar|ZF}}公理系]]においても[[真]]となることが分かる。このため、{{mvar|WF}}公理系内で通常の数学を[[展開]]できることが知られている。実際、{{math|{{mvar|x}}{{=}}<nowiki>{</nowiki>{{mvar|x}}<nowiki>}</nowiki>}}のような集合が存在するか否かは[[ZF公理系|{{Mvar|ZF}}公理系]]の中では導けない独立な[[命題]]だが、通常の数学を展開する場合にはこのような集合が現れることはない。その一方で、正則性の公理は必ずしも{{Mvar|ZF}}公理系を[[拡張]]するために必要なものではないが、ある命題が{{Mvar|ZF}}公理系と[[独立]]であることを[[証明 (数学)|証明]]する際にその[[効果]]を発揮することがある。
-->

== 性質 ==
{{math theorem|
[[全称量化子|任意]]の {{math|''α'' ∈ ''ON''}} に対して、
#<math>R(\alpha)</math>は[[推移的集合|推移的]]
#<math>\forall\beta \leq \alpha; R(\beta) \subseteq R(\alpha)</math>
}}

{{math proof|
[[超限帰納法]]による。{{math|''α'' {{=}} 0}} のときは明らかである。{{math|∀''β'' < ''α''}} に対して成り立っていると仮定する。{{math|''α'' {{=}} ''β'' + 1}} のとき、仮定より {{math|''R''(''β'')}} は推移的であり、<math>R(\alpha) = \mathcal{P}(R(\beta))</math> も推移的になる。また、<math>R(\beta) \subset \mathcal{P}(R(\beta)) = R(\alpha)</math>となる。{{mvar|α}} が[[極限順序数]]のとき、仮定より {{math|∀''β'' < ''α''}} に対して {{math|''R''(''β'')}} は推移的であり推移的集合の[[和集合]]が推移的になることにより

:<math>R(\alpha) = \bigcup_{\beta < \alpha} R(\beta)</math>

も推移的になる。さらに

:<math>\forall\beta < \alpha; R(\beta) \subset \bigcup_{\beta < \alpha} R(\beta) = R(\alpha)</math>
も同様。
}}

{{Mvar|WF}} の定義より、{{math|''x'' ∈ ''WF''}} のとき、{{math|''x'' ∈ ''R''(''α'')}} を満たす最小の[[順序数]] {{mvar|α}} は[[後続順序数]]になる。実際、{{mvar|α}} を[[極限順序数]]として {{math|''x'' ∈ ''R''(''α'')}} 及び {{math|∀''β'' < ''α'', ''x'' ∉ ''R''(''β'')}} が成り立っているとすると、

:<math>x \notin \bigcup_{\beta < \alpha} R(\beta) = R(\alpha)</math>

となって[[矛盾]]する。

そこで、集合 {{mvar|x}} のランクを次のように定義する。

{{math|''x'' ∈ ''WF''}} のとき、{{math|''x'' ∈ ''R''(''β'' + 1)}} を満たす最小の {{mvar|β}} を集合 {{mvar|x}} のランクといい、{{math|rank(''x'')}} で表す。

よって、{{math|rank(''x'') {{=}} ''β''}} ならば

:<math>\forall\alpha > \beta; x \in R(\alpha)</math>

が成り立ち、{{math|''x'' ∈ ''R''(''β'')}} かつ {{math|''x'' ⊂ ''R''(''β'')}} となる。また、このランクの概念を用いて {{math|''R''(''α'')}} は次のように特徴付けられる。
:<math>\forall\alpha; R(\alpha) = \{x \in \mathit{WF} \mid \operatorname{rank}(x) < \alpha \}</math>

及び、
:<math>\forall x \in \mathit{WF} \bigl( \operatorname{rank}(x) < \alpha \iff \exists\beta < \alpha; x \in R(\beta+1) \iff x \in R(\alpha) \bigr)</math>

ランクを計算するときに次の[[補題]]を使う。

<math>y \in \mathit{WF}</math>のとき、

<math>x \in y \implies x \in \mathit{WF}</math>

かつ

<math>\operatorname{rank}(x) < \operatorname{rank}(y)</math>

<math>\operatorname{rank}(y) = \alpha</math> とすると <math>y \in R(\alpha+1) = \mathcal{P}(R(\alpha))</math>

<math>x \in y</math> ならば <math>x \in R(\alpha) = \{ x \in \mathit{WF} \mid \operatorname{rank}(x) < \alpha \}</math>だから<math>\operatorname{rank}(x) < \alpha</math>

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
*{{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=:en:Paul Halmos|date=2015-04-22|year=2015|title=Naive Set Theory|publisher=Benediction Classics|edition=paperback|isbn=978-1-78139-466-3}}
*{{Cite book|和書|author=ポール・ハルモス|others=[[富川滋]] 訳|date=1975|title=[[素朴集合論]]|publisher=[[ミネルヴァ書房]]|isbn=4-623-00986-6|ref={{Harvid|ハルモス|1975}}}}
*{{Cite book|title=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs|year=1980|publisher=Elsevier|ref=harv|last=Kunen|first=Kenneth|isbn=9780444868398}}
==関連項目==
*[[整礎的集合]]
*[[公理的集合論]]
*[[集合論]]

==外部リンク==
*{{Kotobank|集合論|2=[[西村敏男]]}}
*{{MathWorld|title=Axiom of Foundation|urlname=AxiomofFoundation}}
{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:せいそくせいこうり}}
[[Category:集合論]]
[[Category:公理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:集合論の公理]]