正則表現 (数学)のソースを表示

{{for|有限群の正則既約表現|{{仮リンク|ゲルファント・グラーエフの表現|en|Gelfand–Graev representation}}}}
{{単一の出典|date=2018年2月}}
数学、特に[[群の表現]]論において、群 ''G'' の'''正則表現'''（せいそくひょうげん、{{lang-en-short|regular representation}}）とは、''G'' の ''G'' 自身への移動による[[群作用]]によって与えられる[[線型表現]]を言う。

左移動により与えられる'''左正則表現''' (left regular representation) λ と右移動の逆により与えられる'''右正則表現''' (right regular representation) ρ がある。

==有限群==
[[有限群]] ''G'' に対し、（[[可換体|体]] ''K'' 上の）左正則表現 λ は、''G'' の元により自由生成された [[ベクトル空間|''K''-ベクトル空間]] ''V''（すなわち、''G'' の元たちは ''V'' の[[基底 (線型代数学)|基底]]と同一視できる）の上の線型表現である。''g''&nbsp;∈&nbsp;''G'' が与えられると、λ(''g'') は ''g'' による左移動による基底への作用によって決定される線型写像である、すなわち
:全ての <math>h\in G</math> に対して、<math>\lambda(g)\colon h\mapsto gh</math>
である。右正則表現 ρ に対しては、表現の公理を満たすため、逆を取る必要がある。つまり、''g''&nbsp;∈&nbsp;''G'' が与えられると、ρ(''g'') は ''g''<sup>&minus;1</sup> による右移動による基底への作用により決定される ''V'' 上の線型写像である。すなわち、
:全ての <math>h\in G</math> に対して、<math>\rho(g)\colon h\mapsto hg^{-1}</math>
である。あるいは、これらの表現は、全ての写像 ''G''&nbsp;→&nbsp;''K'' のなす ''K''-ベクトル空間 ''W'' 上に定義することもできる。この形の定義を用いれば、正則表現は[[リー群]]のような[[位相群]]へ一般化される。

''W'' に関して、具体的に定義すると次のようになる。写像 ''f'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''K'' と元 ''g''&nbsp;∈&nbsp;''G'' が与えられると、
:<math>(\lambda(g)f)(x)=f(g^{-1}x)</math>
および
:<math>(\rho(g)f)(x)=f(xg)</math>
と定義される。

==群の正則表現の重要性==

「''G'' が自分自身の上へ乗法によって作用する」と言うのはトートロジーである。この作用を[[群作用|置換表現]]と見なすと、正則表現はただ一つの[[群作用#軌道と等方部分群|軌道]]を持ち[[安定化群]]が ''G'' の単位元のみの部分群 {e} であるものとして特徴づけられる。与えられた体 ''K'' について、''G'' の正則表現は、''K'' 上の[[ベクトル空間]]の[[基底]]の集合の置換表現と取ることで得られる線型表現である。この表現の重要性は、置換表現が分解しないことに対し（置換表現は[[群作用#作用の種類|推移的]]である）、正則表現は一般により小さい表現へ分解することにある。例えば、''G'' を有限群で、''K'' を[[複素数]]体とすると、正則表現は[[既約表現]]の[[直和]]へ分解し、分解における各々の既約表現の重複度はその次元である。これらの既約表現の個数は ''G'' の[[共役類]]の個数に等しい。

[[群環]]の記事では、[[有限群]]の正則表現について、正則表現がどのように[[環上の加群|加群]]とみなせるかとともに、詳しく解説されている。

==位相群の場合==
[[位相群]] ''G'' に対し、上の意味での正則表現は、''G'' が移動によって作用する、''G'' 上の関数の適切な空間で置き換えなければならない。[[コンパクト群]]の場合は、{{仮リンク|ペーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}を参照。''G'' が[[リー群]]であってコンパクトでも可換でもなければ、これは[[調和解析]]の難しい問題である。[[局所コンパクト群|局所コンパクト]]可換群の場合は、[[ポントリャーギン双対|ポントリャーギンの双対性]]の理論の一部である。

==関連項目==
* {{仮リンク|基本表現|en|Fundamental representation}}
* {{仮リンク|置換表現|en|Permutation representation}}
* {{仮リンク|準正則表現|en|Quasiregular representation}}

==参考文献==
*{{Fulton-Harris}}

{{DEFAULTSORT:せいそくひようけん}}
[[Category:群の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]