正則領域のソースを表示

[[Image:Domain of holomorphy illustration2.png|thumb|right|定義で述べられている集合の図]]

[[数学]]の[[多変数複素函数]]の理論において、'''正則領域'''（せいそくりょういき、{{Lang-en-short|domain of holomorphy}}）とは、その集合よりも大きい集合に[[解析接続|拡張]]出来ないような[[正則函数]]がその集合上に存在するという意味において「極大」であるような集合である。

正式に言うと、n 次元複素空間 <math>{\mathbb{C}}^n</math> 内のある開集合 <math>\Omega</math> が'''正則領域'''であるとは、<math>\Omega</math> 上のすべての正則函数 <math>f</math> に対して <math>f = g</math> を <math>U</math> 上で満たす <math>V</math> 上の正則函数 <math>g</math> が存在するような、空でない開集合 <math>U \subset \Omega</math> および空でない[[連結空間|連結]]開集合 <math>V \subset {\mathbb{C}}^n</math> で <math>V \not\subset \Omega</math> および <math>U \subset \Omega \cap V</math> を満たすものが存在しないことを言う。

<math>n=1</math> の場合、すべての開集合は正則領域である。すなわち、その領域の[[境界 (位相空間論)|境界]]上の至る所で[[集積点|集積]]する零点を持つような正則函数を定義することが出来る。そのような境界はしたがって、逆函数の定義域に対する[[解析接続#自然な境界（自然境界）|自然境界]]でなければならない{{要出典|date=2015年5月}}。<math>n \geq 2</math> に対しては、[[ハルトークスの拡張定理|ハルトークスの補題]]によって、上述の主張は真にはならない。

== 同値な条件 ==

領域 <math>\Omega</math> に対して、以下の条件は同値である：
# <math>\Omega</math> は正則領域
# <math>\Omega</math> は[[正則凸包|正則凸]]
# <math>\Omega</math> は[[擬凸性|擬凸]]
# <math>\Omega</math> は'''レヴィ凸'''。すなわち、ある集合 <math>\Gamma</math> に対して <math>S_{n} \rightarrow S, \partial S_{n} \rightarrow \Gamma</math> を満たすような解析的コンパクト曲面のすべての列 <math>S_{n} \subseteq \Omega</math> に対し、<math>S \subseteq \Omega</math> が成立する（<math>\partial \Omega</math> は解析的曲面の列によって「内側から触れられる」ことはない）
# <math>\Omega</math> は'''局所レヴィ性'''を持つ。すなわち、すべての点 <math>x \in \partial \Omega</math> に対して、<math>x</math> の近傍 <math>U</math> に対し、<math>U \cap \Omega</math> 上の正則函数 <math>f</math> で <math>x</math> のどのような近傍にも拡張できないものが存在する。

関係 <math>1 \Leftrightarrow 2, 3 \Leftrightarrow 4, 1 \Rightarrow 4, 3 \Rightarrow 5</math> は標準的な結果である。<math>1\Rightarrow 3</math> については[[岡の補題]]を参照されたい。<math>5 \Rightarrow 1</math> の証明、すなわち局所的にのみ定義される拡張不可能な函数から、拡張を許さないような大域的正則函数を構成するという作業は、他のものと比べて困難である。この問題は、（{{仮リンク|エフジェニオ・エリア・レヴィ|en|Eugenio Elia Levi}}(Eugenio Elia Levi)に因み）レヴィの問題と呼ばれ、[[岡潔]]によって初めて解かれた。その後、[[ラース・ヘルマンダー]]は函数解析と偏微分方程式の手法を使ってその問題を解いた（<math>\bar{\partial}</math>-問題の帰結である）。

== 性質 ==
* <math>\Omega_1, \dots, \Omega_{n}</math> が正則領域であるなら、それらの共通部分 <math>\Omega = \bigcap_{j=1}^{n} \Omega_j</math> もまた正則領域である。
* <math>\Omega_{1} \subseteq \Omega_{2} \subseteq \dots</math> が正則領域の昇列であるなら、それらの合併 <math>\Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n}</math> もまた正則領域である（[[ベーンケ＝シュタインの定理]]を参照）。
* 正則領域 <math>\Omega_{1}, \Omega_{2}</math> の積 <math>\Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2}</math> もまた正則領域である。
* [[クザン問題|クザンの第一問題]]は正則領域において常に解くことが出来る。いくつかの位相空間論的な仮定の下では、クザンの第二問題も同様に正則領域において解くことが出来る。

== 関連項目 ==
* [[ベーンケ＝シュタインの定理]]
* [[擬凸性|レヴィ擬凸]]
* [[シュタイン多様体]]

== 参考文献 ==
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
* Boris Vladimirovich Shabat, ''Introduction to Complex Analysis'', AMS, 1992

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