正十二面体のソースを表示

{{Infobox Polyhedron with net
| Image_File=256-XX-dodecahedron.gif
| Polyhedron_Type=[[正多面体]]、[[十二面体]]
| Face_List=12枚の[[正五角形]]
| Edge_Count=30
| Vertex_Count=20
| Vertex_List=5<sup>3</sup>
| Vertex_Image_File=Dodecahedron_vertfig.png
| wythoff=3 &#124; 2 5
| schlafli={5, 3}
| symmetry=I<sub>h</sub>
| dual=[[正二十面体]]
| Property_List=[[凸集合]]
| Net_Image_File=Dodecahedron_flat.svg
}}

[[File:Dodeca.jpg|thumb|正十二面体投影図（辺心図）]]

'''正十二面体'''（せいじゅうにめんたい、{{lang-en-short|regular [[倍数接頭辞|dodeca]]<nowiki />hedron}}）は[[正多面体]]の1つ。[[空間]]を[[正五角形]]12枚で囲んだ[[凸多面体]]。

== 性質 ==
* [[ねじれ双角錐|ねじれ双五角錐]]の両頭頂点を切った立体（{{Interlang|en|Truncated trapezohedron|Truncated pentagonal trapezohedron}}）の、特殊な形。
* 向かい合う面は平行である。
* 正十二面体の一辺と外接立方体の一辺の比はおよそ 1 : 2.618
* [[二面角]] 116.56505° = arccos(−1/{{sqrt|5}})
* [[展開図]]の数は43380種類。
* 面の数は12、辺の数は30、頂点の数は20。
* 頂点形状は[[三角錐|正三角錐]]であり、3本の辺と3枚の正五角形が集まる。これらは[[パスカルの三角形]]の第4段の2、3番目の数字に等しい。
* [[正二十面体]]と[[双対多面体|双対]]である。

== 計量 ==
{|class="wikitable"
|面の[[面積]]
|<math> A={1\over4}\sqrt{25+10\sqrt5}\,a^2</math>
|<math> A={1\over4}\sqrt{5(4\varphi+3)}\,a^2</math>
|-
|[[表面積]]
|<math> S=12A=3\sqrt{25+10\sqrt5}\,a^2</math>
|<math> S=12A=3\sqrt{5(4\varphi+3)}\,a^2</math>
|-
|[[体積]]
|<math> V=\frac{1}{3}Sr={1\over4}(15+7\sqrt5)a^3</math>
|<math> V=\frac{1}{3}Sr={1\over2}(7\varphi+4)a^3</math>
|-
|最長[[対角線]]の長さ
|<math> d={1\over2}{(\sqrt{15}+\sqrt{3})a}</math>
|<math> d={\sqrt3\varphi}a</math>
|-
|[[外接球]]半径
|<math> R=\frac{d}{2}={1\over4}{(\sqrt{15}+\sqrt{3})a}</math>
|<math> R={1\over2}{\sqrt3\varphi}a</math>
|-
|[[内接球]]半径
|<math> r=\sqrt{25+11\sqrt{5}\over40}\,a</math>
|<math> r={3\varphi+2\over2\sqrt{4\varphi+3}}a</math>
|}

== 頂点、辺、面の座標 ==
以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで <math>\varphi</math> は[[黄金比]] <math>\frac{1+\sqrt5}2</math> 、
<math>\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3=\pm 1</math> である。
; 20個の頂点（原点からの距離 <math>\sqrt3</math>）の座標
* <math>(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)</math>  の8個
* <math>(0, \epsilon_2 \varphi, \epsilon_3 \varphi^{-1})</math>  のxyz座標を偶置換した 12個
; 30個の辺（長さ<math>2\varphi^{-1}</math>）の、両端点および中心の座標
* 両端点 <math>(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)</math>と<math>(0, \epsilon_2\varphi, \epsilon_3\varphi^{-1})</math>、中心 <math>\frac12(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi^2, \epsilon_3 \varphi)</math> のxyz座標を偶置換した 24個
* 両端点 <math>(0, \epsilon_2\varphi, \varphi^{-1})</math>と<math>(0, \epsilon_2\varphi, -\varphi^{-1})</math>、中心<math>(0, \epsilon_2\varphi, 0)</math> のxyz座標を偶置換した 6組
; 12個の面の、反時計回りの頂点および中心の座標
* 頂点 <math>(0, \epsilon_2\varphi, \epsilon_3\varphi^{-1})</math>, <math>(-\epsilon_2 \epsilon_3, \epsilon_2, \epsilon_3)</math>, <math>(-\epsilon_2 \epsilon_3\varphi^{-1}, 0, \epsilon_3 \varphi)</math>, <math>(\epsilon_2 \epsilon_3\varphi^{-1}, 0, \epsilon_3 \varphi)</math>, <math>(\epsilon_2 \epsilon_3, \epsilon_2, \epsilon_3)</math>、中心 <math>\frac{\varphi+2}5(0, \epsilon_2, \epsilon_3\varphi) </math>  のxyz座標を偶置換した 12個

== 正十二面体の作り方 ==
[[File:Cube in dodecahedron.jpg|thumb|正十二面体と内接する立方体]]
[[ファイル:Dodeca0.jpg|サムネイル|右|正十二面体と外接する立方体の直投影図]]

*正十二面体を内接[[立方体]]から構成する方法がユークリッドの『原論』第13巻に記されている。一松信はこれを「立方体に屋根をかける」方法と呼んでいる。<ref>{{Cite book|title=正多面体を解く|date=2002/5/20|year=|publisher=東海大学出版会}}</ref>
*これとは逆に、正十二面体を外接[[正六面体|立方体]]から立方体の12の稜を一様に[[切稜立方体|切稜]]して作る方法が、『多面体木工（増補版）』（佐藤郁郎・中川宏）によって示された。<ref>{{Cite book|title=多面体木工|date=2006/8/1|year=|publisher=特定非営利活動法人 科学協力学際センター}}</ref>それは、正十二面体の投影図（辺心図）が、直交する3方向に現れることに基づいている。投影図は100ミリの立方体から切り取る部分の寸法を示しているが、これは[[黄金比]]にあたる。切り取る三角形の赤丸の角度が[[切稜立方体|切稜]]の角度になる。約31.7度である。

=== 立方体から正十二面体を作る様子 ===
発泡スチロールカッターを使って立方体から正十二面体を作る様子を示す。
{| class="wikitable" style="text-align:center; font-size:95%;"
|-
| style="padding:5px; vertical-align:top;" |[[File:Dodeca1.jpg|225px]]<br />X軸まわりの切稜
|-
| style="padding:5px; vertical-align:top;" |[[File:Dodeca2.jpg|225px]]<br />Y軸まわりの切稜
|-
| style="padding:5px; vertical-align:top;" |[[File:Dodeca3.jpg|225px]]<br />Z軸まわりの切稜
|-
| style="padding:5px; vertical-align:top;" |[[File:Dodeca4.jpg|225px]]<br />立方体切稜による正十二面体の完成
|}

== 正十二面体の証明 ==
<!-- 節の名前が不明 -->
[[ファイル:原論１３－１７図.gif|サムネイル|左|『[[原論]]』第13巻の定理17の図]]
『[[ユークリッド原論]]』第13巻の定理17においては、立方体の一辺を対角線の一つとする五角形のひさしをかけることによって、この五角形が等辺にして一平面上にありかつ等角であることが証明されている<ref name="Heiberg&Menge1971.pp=429-432">{{Harvtxt|ハイベア|メンゲ|1971|pp=429–432}}.</ref>。

{{Quotation|正十二面体をつくり，先の図形のように球によってかこみ，そして正十二面体の辺が[[余線分]]とよばれる[[無理数|無理線分]]であることを証明すること。|『ユークリッド原論』第13巻の定理17<ref>{{Harvtxt|ハイベア|メンゲ|1971|p=429}}.</ref>}}

図に示したように、『ユークリッド原論』第13巻の定理17の説明<ref name="Heiberg&Menge1971.pp=429-432" />にある[[ギリシア文字]]を[[ラテン文字]]に変更して述べると以下のようになる。

{{Quotation|　先に述べた立方体の互いに垂直な二つの面 ABCD､CBEF が定められ､辺 AB，BC，CD，DA，EF，EB，FC のおのおのが G，H，K，L，M，N，O において2等分され，GK HL，MH，NO が結ばれ，NP，PG，HQ のおのおのが点 R，S，T において[[外中比]]に分けられ，RP，PS，TQ がそれらの大きい部分とされ，点 R，S，T から立方体の面に垂直に立方体の外側の方向に RU，SV，TW が立てられ，RP，PS，TQ に等しくされ，UB，BW，WC，CV，VU が結ばれたとせよ。五角形 EBWCV は等辺にして一平面上にありかつ等角であると主張する。|『ユークリッド原論』第13巻の定理17<ref>{{Harvtxt|ハイベア|メンゲ|1971|pp=429f.}}.</ref>}}

== 星型 ==
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Small stellated dodecahedron.png|200px]]<br />[[小星型十二面体]]<br />B
| [[Image:Great dodecahedron.png|200px]]<br />[[大十二面体]]<br />C
| [[Image:Great stellated dodecahedron.png|200px]]<br />[[大星型十二面体]]<br />D
|}

== この図形を[[枠 (多面体)|枠]]に持つ立体 ==
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Great stellated dodecahedron.png|150px]]<br />大星型十二面体<br />
| [[Image:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|150px]]<br />[[小二重三角二十・十二面体]]
| [[Image:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|150px]]<br />[[大二重三角二十・十二面体]]
| [[Image:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|150px]]<br />[[二重三角十二・十二面体]]
|- align=center valign=top
| [[Image:Compound of five cubes.png|150px]]<br />5個の立方体による[[複合多面体]]
| [[Image:Compound of five tetrahedra.png|150px]]<br />5個の正四面体による複合多面体
| [[Image:Compound of ten tetrahedra.png|150px]]<br />10個の正四面体による複合多面体
|}

== 派生的な立体 ==
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Truncateddodecahedron.jpg|150px]]<br />[[切頂十二面体]]<br />t{5, 3}
| [[Image:icosidodecahedron.jpg|150px]]<br />[[二十・十二面体]]<br />r{5, 3}
| [[Image:Snubdodecahedronccw.jpg|150px]]<br />[[変形十二面体]]<br />sr{5, 3}
| [[Image:Pentakisdodecahedron.jpg|150px]]<br />[[五方十二面体]]
| [[Image:Dual_compound_20_max.png|150px]]<br />正十二面体と正二十面体による複合多面体
|}

== 近縁となる[[ジョンソンの立体]] ==
{| class=wikitable width=400
|- align=center valign=top
| [[Image:Augmented_dodecahedron.png|150px]]<br />[[側錐十二面体]]
| [[Image:Parabiaugmented_dodecahedron.png|150px]]<br />[[双側錐十二面体]]
| [[Image:Metabiaugmented_dodecahedron.png|150px]]<br />[[二側錐十二面体]]
| [[Image:Triaugmented_dodecahedron.png|150px]]<br />[[三側錐十二面体]]
|}

== 古代の遺物に見られる正十二面体 ==
[[ファイル:花籠.jpg|サムネイル|長野県畦地一号墳出土銀製垂飾付耳飾り]]
おそらく日本最古と思われる正十二面体構造を持つ人工物は、５～６世紀ごろの[[古墳]]の副葬品の耳飾りに見出すことができる。同じ大きさの銀製や金銅製の環１２個を均等に配置した中空の籠形で、垂らすタイプの耳飾りの中間に用いられた。これまでに、群馬県の梁瀬二子塚古墳、千葉県の[[祇園大塚山古墳]]、長野県の畦地一号墳、和歌山県の[[大谷古墳 (和歌山市)|大谷古墳]]、奈良県の新沢千塚から出土した遺物に確認されている。全く同じではないが似たような構造を持つ耳飾りは朝鮮半島の遺物でも確認されている。<ref>{{Cite book|和書|title=アクセサリーの考古学|date=2021年5月1日|publisher=吉川弘文館|author=高田貫太}}</ref>

== 関連項目 ==
[[File:D12 regular dodecahedron.JPG|thumb|正十二面体[[サイコロ]]]]
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
* [[黄鉄鉱体]]
* [[スキューブアルティメット]]
* [[正十二面体の星型一覧]]
* [[正多面体]]
* [[ドデカヘドラン]]
* [[メガミンクス]]
* [[正百二十胞体]]
* [[ローマの中空十二面体]]
* {{仮リンク|Braarudosphaera bigelowii|en|Braarudosphaera bigelowii}}
{{Div col end}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2018年6月|section=1}}
* {{Cite book|和書|author=小笠英志|authorlink=小笠英志|date=2006-05-25|title=4次元以上の空間が見える|publisher=[[ベレ出版]]|isbn=4-86064-118-3|url=http://www.beret.co.jp/books/detail/233|ref={{Harvid|小笠|2006}}}} - pp.97-101に正十二面体の対角線の長さを全て求める方法が載っている。
* 一松信『正多面体を解く』東海大学出版会、2002年5月20日。
* {{Cite book|和書|author=佐藤郁郎|authorlink=佐藤郁郎|coauthors=[[中川宏]]|date=2011-03|title=多面体木工|edition=増補版|publisher=[[科学協力学際センター]]|isbn=978-4-9905880-0-7|url=http://torito.jp/shopping/_tamentaimokko.shtml|ref={{Harvid|佐藤|中川|2011}}}}
* {{Cite book|和書|editor1=ハイベア|editor1-link=ヨハン・ルードウィッヒ・ハイベア|editor2=メンゲ|editor2-link=ハインリッヒ・メンゲ|others=[[中村幸四郎]]・[[寺阪英孝]]・[[伊東俊太郎]]・[[池田美恵]]訳・解説|title=ユークリッド原論|publisher=[[共立出版]]|ref={{Harvid|ハイベア|メンゲ|1971}}}} - 全13巻の最初の邦訳。
** （ハードカバー）1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
***（抜粋）『[[世界の名著]]9』 池田美恵訳 [[中央公論社]] 1972年
** {{Anchors|縮刷版}}（縮刷版）1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
** （[http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019652 追補版]）2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2

== 外部リンク ==
* [http://video.fc2.com/content/20141015mMG9QR5R 発泡スチロールの立方体から正十二面体をつくろう]
* [http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/Elements.pdf ユークリッド「原論」における正１２面体の証明]
* {{高校数学の美しい物語|2717|正12面体のいろいろな計算（対角線・表面積・体積・内接球・外接球）}}
* {{MathWorld|title=Regular Dodecahedron|urlname=RegularDodecahedron}}
* {{MathWorld|title=Dodecahedral Graph|urlname=DodecahedralGraph}}

{{Commonscat|Dodecahedron|十二面体}}
{{多面体}}
{{Polyhedron-stub}}

{{DEFAULTSORT:せいしゆうにめんたい}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:正多面体]]