正単体のソースを表示

[[Image:Complete graph K3.svg|thumb|2次元正単体（[[正三角形]]）]]
[[Image:Tetrahedron.svg|thumb|3次元正単体（[[正四面体]]）]]
[[Image:Cell5-4dpolytope.png|thumb|4次元正単体（[[正五胞体]]）の[[投影図]]]]
'''正単体'''（せいたんたい、regular simplex）は、[[2次元]]の[[正三角形]]、[[3次元]]の[[正四面体]]、[[4次元]]の[[正五胞体]]を各次元に一般化した[[正多胞体]]。なお、0次元正単体は[[点 (数学)|点]]、1次元正単体は[[線分]]である。

また言い換えると、[[単体 (数学)|単体]]である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。

'''<math>\alpha</math>体'''（アルファたい）ともいい、''n''  (''n'' &ge; 0) 次元正単体を <math>\alpha_n</math> と書く。

[[超立方体]]（正測体）、[[正軸体]]と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

==作図==
''n'' 次元正単体は、''n'' + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。<math>(1, 0, 0, \cdots , 0)</math> の巡回
:<math>(1, 0, 0, \cdots , 0), (0, 1, 0, \cdots , 0), \cdots, (0, 0, \cdots , 0, 1)</math>
を[[頂点]]として、互いを[[辺]]で結べばよい。この図形は、原点を中心とする''n'' + 1 次元正軸体の ''n'' 次元面の一つである。例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする正三角形（2次元正単体）は (0, 0, 0)を中心とする[[正八面体]]（3次元正軸体）の面の一つであるが、この場合は (1, 1, 1)を4番目の頂点とする正四面体の構成面でもあり、2種類の[[正多面体]]で[[空間充填]]が可能である。

''n'' 次元空間内で作図するには、
*座標変換する。
*''n'' - 1 次元単体を作図し、[[重心]]で直交する[[垂線]]上の適切な位置に頂点を追加する。
*自明な0次元単体から開始し、[[再帰的]]に1つ上の次元の正単体を作図する。

などがある。

==性質==
特にことわらない限り、辺の長さが ''a'' の ''n'' 次元正単体について述べる。

超体積は、
:<math>\frac{ \sqrt{n+1} }{ n! \sqrt{2^n} } a^n</math>
超表面積は
:<math>\frac{ (n+1) \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}</math>
である。

[[面 (幾何学)#ファセット|ファセット]] (''n'' - 1 次元面) は ''n'' - 1 次元正単体である。したがって一般に、''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 1) 次元面は ''m'' 次元正単体である。たとえば、正五胞体（4次元正単体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。

''m'' 次元面の個数は
:<math>{}_{n+1}\operatorname{C}_{m+1}</math>
である。これは[[パスカルの三角形]]の第 ''n'' + 2 段の ''m + 2 番目の数字である。特に、頂点とファセットはそれぞれ <math>n + 1</math> 個である。

''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 2) 次元面の形状は ''n'' - ''m'' - 1 次元正単体であり、そこに集まる''l'' (''m'' + 1 &le; l &le; ''n'' - 1) 次元面の個数は
{{Indent|<math>{}_{n - m}\operatorname{C}_{l - m}</math>}}
である。これは[[パスカルの三角形]]の第 ''n'' - ''m'' + 1 段の ''l'' - ''m'' + 1 番目の数字であり、''n'' - ''m'' - 1 次元[[単体 (数学)|単体]]の ''l'' - ''m'' - 1 次元面の個数である。

自らと[[双対]]である。

ペトリー多胞体は ''n'' - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体の[[ペトリー多角形]]は[[正方形]]である。

== 関連項目 ==
*[[単体 (数学)]]

{{DEFAULTSORT:せいたんたい}}
[[Category:正多胞体]]
[[Category:自己双対多胞体]]
[[Category:数学に関する記事]]