正接定理のソースを表示

{{Trigonometry}}
[[三角法]]における'''正接定理'''（せいせつていり）とは、[[三角形]]の2つの角と2つの辺の関係を示した[[定理]]である。

== 公式 ==
[[File:Triangle with notations 2.svg|thumb|250px|図1：&alpha;, &beta;, &gamma; の3つの角と a, b, c の3辺を持つ三角形]]
図1 において以下の式が成り立つ。
:<math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}.</math>

正接定理は[[正弦定理]]や[[余弦定理]]ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。

== 証明 ==
この定理の証明は、[[正弦定理]]から始まる。すなわち、
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}</math>
から
: <math>\frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>
が得られ、これに[[比例式]]における[[分数#加比の理|合除比の理]] ([[:en:Mediant_(mathematics)#Properties|Componendo and Dividendo Theorems]]) を適用すると、
: <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}</math>
が成立する。

ここで、以下の[[和積公式]]を使用する。
: <math> \sin{\alpha} \pm \sin{\beta} = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}</math>
最終的に以下のようになる。
:<math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}} = \frac{\tan\dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}.  \qquad\blacksquare</math>

== 球面三角法の正接定理 ==
[[Image:RechtwKugeldreieck.svg|thumb|250px|right|球面三角形]]
球面上の三角形における正接定理は、13世紀に[[ナスィールッディーン・トゥースィー]]が著書 ''Treatise on the Quadrilateral'' で言及している<ref name="Debarnot">{{Cite book |url=https://books.google.co.jp/books?id=cPGRYLlwbrEC&pg=PA182&redir_esc=y&hl=ja |title=Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 |editor=Rushdī Rāshid, Régis Morelon |author=Marie-Thérèse Debarnot |chapter=Trigonometry |isbn=0-415-12411-5 |year=1996 |page=182 |publisher=Routledge}}</ref><ref name="Bosworth">{{Cite book |title=History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 |editor=C. E. Bosworth, M.S.Asimov |url=https://books.google.co.jp/books?id=ELrRr0L8UOsC&pg=PA190&redir_esc=y&hl=ja |chapter=Trigonometry |page=190 |author=Q. Mushtaq, JL Berggren |isbn=81-208-1596-3 |year=2002 |publisher=Motilal Banarsidass Publ.}}</ref>。

[[球面三角法]]の正弦定理：
: <math>\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta}</math>
から、前節の過程を同様に辿ることにより、球面三角法の正接定理：
: <math>\frac{\tan \dfrac{a-b}{2}}{\tan \dfrac{a+b}{2}} = \frac{\tan \dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\tan \dfrac{\alpha+\beta}{2}}</math>
が得られる。

== 応用 ==
正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 <math>\gamma</math> が与えられているときに他の辺と角の値を求めるために使用できる。<math>\tan\dfrac{\alpha-\beta}{2} = \frac{a-b}{a+b} \tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}= \frac{a-b}{a+b} \cot\dfrac{\gamma}{2}</math> より <math>\alpha-\beta</math> を求めることができ、<math>\alpha+\beta=180^\circ-\gamma</math> も分かるので角の値を求めることができる。残った辺 c の値は正弦定理などで出すことができる。余弦定理を使用して <math>c=\sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \gamma}</math> とすることもできるが、コンピューターで計算する場合には <math>\gamma</math> が0に近く <math>a</math> と <math>b</math> もほぼ等しいときに[[桁落ち]]の危険性があるため正接定理のほうが都合がよい。

== 関連項目 ==
* [[正弦定理]]
* [[余弦定理]]
* [[余接定理]]
* [[三角関数の公式の一覧]]
* {{仮リンク|モルワイデの公式|en|Mollweide's formula}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1234|正接定理とその証明}}

{{DEFAULTSORT:せいせつていり}}
[[Category:三角法]]
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]