正方形のソースを表示

{{Regular polygon db|Regular polygon stat table|p4}}
[[File:四邊形四邊線等而角直為直角方形.svg|class=skin-invert-image|thumb|160px|正方形。（甲・乙・丙・丁は角）]]
[[File:Square diamond (shape).svg|class=skin-invert-image|thumb|160px|正方形にその[[対角線]]を点線で書き加えたもの。]]
'''正方形'''（せいほうけい、[[英語|英]]: square）または'''正四角形'''（せいしかくけい、せいしかっけい）は、[[平面]]上の[[幾何学]]において、4つの[[辺]]の長さが全て等しく、[[論理積|かつ]]、4つの[[角]]の角度が全て等しい[[四角形]]のこと。従って、4つの角は全て[[直角]]（90度）になっている。日常語では'''真四角'''（ましかく）とも呼ぶ。

正方形は[[正多角形]]の一種であり、また[[長方形]]、[[菱形]]、[[平行四辺形]]、[[台形]]、[[凧形]]の特殊な形だと考えることもできる。

[[面積]]の単位である[[平方メートル]]は、一辺1[[メートル|m]]の正方形の面積と定義される。1[[平方センチメートル|cm<sup>2</sup>]]、1[[平方キロメートル|km<sup>2</sup>]]なども同様である。

== 他の図形との関係 ==
以下では他の平面図形のクラスとの比較を挙げる。すべての場合において、正方形は各クラスの特殊な場合であり、逆に各クラスは一般には正方形とは言えないのである。

; 正方形と長方形
: 正方形は、全て角の角度が等しいという性質を持っている。従って、正方形は長方形の一種である。
: 一方、長方形は「4つの辺の長さが全て等しい」という性質は持っていない。従って、長方形は一般には正方形ではない。
; 正方形と菱形
: 正方形には2本の[[対角線]]が存在するが、その長さは等しく、またこの2本の対角線は[[直交]]する。逆に、対角線の長さが等しい菱形（4つの辺の長さが全て等しい四角形）は、正方形となる。
: 一方で、菱形は「4つの角の角度が全て等しい」という性質は持っていないため、菱形は一般には正方形ではない。
; 正方形と平行四辺形
: 正方形の向かい合う辺は、必ず[[平行]]である。従って正方形は平行四辺形の一種である。
: 一方で、平行四辺形は「4つの辺の長さが全て等しい」「4つの角の角度が全て等しい」という性質を持っていないため、平行四辺形は一般には正方形ではない。
; 正方形と台形
:平行四辺形は台形の一種であるため、正方形は[[台形]]（向かい合う1組の辺が平行な四角形）の一種であるとも言える。
:一方で、台形は向かい合う2組の辺がどちらも平行であるとは限らず、従って一般に平行四辺形や正方形ではないため、正方形は台形の特殊な場合と言える。
; 正方形と凧型
: 正方形の4つの辺の長さは全て等しい。よって対頂点（辺を共有しない、向かい合う2つの[[頂点]]）に接する辺の長さも等しい。従って、正方形は凧型（1組の対頂点に接する辺の長さが等しい四角形）の一種であると言える。
: 一方で、凧型は「4つの辺の長さが全て等しい」「4つの角の角度が全て等しい」という性質を一般に持っていないため、凧型は正方形とは限らない。

== 性質 ==
正方形は、[[長方形]]、[[菱形]]、[[凧形]]、[[平行四辺形]]、[[台形]]の「特殊な形」と言えるので、それらの図形が持つ性質は全て持っている。また、それとは別に四角形の中では正方形だけが持つ性質もある。以下に正方形の性質の具体例を幾つか列記する。

* 正方形の1辺の長さを[[自乗|2乗]]すれば、その正方形の[[面積]]が算出できる。
* 正方形の対角線の長さにその半分の長さをかけると、その正方形の面積が算出できる。すなわち正方形の面積は、その対角線を長さ（長方形の長い方の辺の長さ）その半分を幅（長方形の短い方の辺の長さ）とする長方形の面積と等しい。
* 正方形Aの[[内接円]]と、正方形Bの[[外接円]]、それぞれの[[円 (数学)|円]]の[[半径]]が等しい時、正方形Aの面積は、正方形Bの面積の2倍となる。
* 正方形は、全て角の角度が等しい四角形であるため、必ず正方形の内角はどれも[[直角]]となる。よって、正方形の向かい合う辺は、必ず[[平行]]となる。
* 全ての正方形は、互いに[[図形の相似|相似]]である（相似でない正方形は存在しない）。さらに、辺の長さの等しい正方形同士ならば、それらは[[図形の合同|合同]]である。また、対角線の長さの等しい正方形同士も、それらは合同である。
* 正方形には2本の[[対角線]]が存在するが、その長さは等しく、またこの2本の対角線は[[直交]]する。なお、この2本の対角線の[[交点]]は、正方形の[[重心]]となっている。
* 正方形は、対角線の交点（重心）を中心点とした[[点対称]]な図形である。ところで点対称とは、中心点を軸に180度回転した像と元の像が重なり合う状態を言う。したがって、正方形の重心を中心として180度回転させると元の像と重なり合うのは当然だが、正方形の場合は、さらに重心を中心として90度回転させた場合も元の像と重なり合う。
* 正方形は、対角線、または、向かい合う辺の[[中点]]同士を結ぶ[[線分]]に対して、[[線対称]]な図形である。したがって、これらの線で折り返した場合、重なり合う。なお、これらの線は必ず正方形の重心を通る。また、これらの線は合わせて4本あるので、[[対称軸]]が4本あると言うことができる。ちなみに、四角形が持ち得る対称軸は、最大で4本である。なお、一般に、正n角形にはn本の対称軸が存在するが、正方形（＝正4角形）の場合もこのことは当てはまっている。
[[File:Square of area 4.png|class=skin-invert-image|thumb|原点に重心があり、辺が軸に平行で、一辺の長さが2の正方形]]
* 正方形の重心を[[原点 (数学)|原点]]に取り、[[軸]]に平行に取った辺の長さが2である正方形の[[頂点]]の[[座標]]は (''x'', ''y'') = (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1) となる。この正方形の内部は −1 &lt; ''x'' &lt; 1, −1 &lt; ''y'' &lt; 1 として、(''x'', ''y'') で表される[[点 (数学)|点]]の[[集合]]として書ける。もしくは |''x''|<sup>''n''</sup> + |''y''|<sup>''n''</sup> &lt; 1 の ''n'' → ∞ の[[極限]]である。ただし、この式では辺と頂点は含まない。
* 正方形は[[正多角形]]の一種である。正多角形のうち[[平面充填|平面を隙間なく敷き詰めること]]のできる図形は、[[正三角形]]、正方形、[[正六角形]]の3種のみである（なお、平面を隙間なく敷き詰めることのできる正多角形以外の図形は、例えば平行四辺形など、他にも存在する）。また、正多角形のうち[[正多面体]]の面になり得るものは、正三角形、正方形、[[正五角形]]の3種のみである。全ての面が正方形である正多面体は[[正六面体]]であり、一般に[[正六面体|立方体]]と呼ばれる。

== 正方形ならではの事項 ==
* [[正六面体]]（[[立方体]]）の[[面]]は、正方形である。
* [[地図]]の[[投影法 (地図)|投影法]]の一種である[[正距円筒図法]]は、'''[[正方形図法]]'''という別名を持つ。これは、正距円筒図法で書かれた地図の[[経線]]と[[緯線]]が等間隔に直交し、ちょうど正方形のマスができるためである。
* 一般的な[[折り紙]]は、正方形の[[紙]]である。
<!--* 囲碁とか将棋の盤面は、正方形？　囲碁の盤面は一般に長方形です。-->
* [[数]]の一種である[[平方数]]は、'''[[正方形数]]'''とも呼ばれる。
* 「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題は、[[ルジンの問題]]として知られる。かつては解がないだろうと予想されていたが、後に幾つかの解が発見された。
*数式
::<math>r=n\sec((1/4)\arccos(\cos(4\theta)))</math>
:で表すことができる。<math>n</math>は正方形の一辺の長さを表す。

== 関連項目 ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}
{{Refbegin|2}}
* [[四角形]]
* [[正多角形]]
* [[超立方体]]
* [[四角 (記号)]] 
* [[正多胞体]]
* [[単位正方形]]
{{refend}}
{{多角形}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:せいほうけい}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]