正方行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
{{Expand English|Square matrix|date=2024年5月}}
'''正方行列'''（せいほうぎょうれつ、{{lang-en-short|''square matrix''}}）とは、行要素の数と列要素の数が一致する[[行列 (数学)|行列]]である。サイズが ''n'' × ''n'' つまり、''n'' 行 ''n'' 列であるとき、''n'' 次正方行列という。

:<math>\begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}</math>

==性質==
* 同じサイズの正方行列の全体には[[加法]]・[[乗法]]が定義可能で、[[環 (数学)|環]]をなす。（これは行列のサイズが ''n'' &times; ''n'' のとき ''n'' 次の'''全行列環'''と呼ばれる。）
** 可換環上 1 次の場合（[[スカラー (数学)|スカラー]]）<!--（と零環上の行列環）-->をのぞいて、全行列環は非可換。
** [[実数]][[可換体|体]] '''R''' 上で定義された 2 次の全行列環は複素数体 '''C''' と同型な部分体を含む。
** [[複素数]]体 '''C''' 上定義された 2 次の全行列環あるいは '''R''' 上定義された 4 次の全行列環は、[[四元数]]体 '''H''' に同型な部分斜体を含む。
*可換環上で定義される正方行列には[[行列式]]を定義できる。
*[[単元]]と[[冪等元]]の積として書ける。

==正方行列に対して定義されているもの==
正方行列に対して定義されているものを以下に示す。

*[[逆行列]] - ([[逆元#逆行列・擬逆行列]]、[[可逆元]]参照)
*[[行列式]]
*[[固有値]]
*[[特異値]]
*[[トレース (線型代数学)|トレース]]

[[特異値]]を除くと、通常これらは正方行列でのみ定義されている。

==特殊な正方行列==
* [[三角行列]] - [[対角行列]] - [[単位行列]]
* [[エルミート行列]] - [[対称行列]]
* [[正則行列]] - [[逆行列]]
* [[ユニタリ行列]] - [[直交行列]]
* [[カルタン行列]]

==関連項目==
*[[ケイリー・ハミルトンの定理]]
*[[線型代数学]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank}}

{{DEFAULTSORT:せいほうきようれつ}}

{{sci-stub}}

[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]