正準座標のソースを表示

{{脚注の不足|date=2024年2月}}
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{{古典力学}}

数学や古典力学において、'''正準座標'''(canonical coordinates)は、任意に与えられた点の（[[相空間]]の中の系を特定する）ある時間での物理系を記述することのできる[[座標]]系である。正準座標は、[[古典力学]]での[[ハミルトン力学|ハミルトン定式化]]で使われる。密接に関連する考え方は、[[量子力学]]の中にも現れる。詳細は、{{仮リンク|ストーン＝フォン・ノイマンの定理|en|Stone–von Neumann theorem}}(Stone–von Neumann theorem)や[[正準交換関係]]を参照。

ハミルトン力学を一般化して[[シンプレクティック幾何学]]とし、[[正準変換]]を一般化し{{仮リンク|接触変換|en|contact transformation}}(contact transformation)とすると、[[多様体]]上の[[余接束|余接バンドル]]のより抽象的な定義へ一般化することができる。
<!--== Canonical coordinates ==
{{Classical mechanics}}
In [[mathematics]] and [[classical mechanics]], '''canonical coordinates''' are sets of [[coordinates]] which can be used to describe a physical system at any given point in time (locating the system within [[phase space]]). Canonical coordinates are used in the [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian formulation]] of [[classical mechanics]]. A closely related concept also appears in [[quantum mechanics]]; see the [[Stone–von Neumann theorem]] and [[canonical commutation relation]]s for details.

As Hamiltonian mechanics is generalized by [[symplectic geometry]] and [[canonical transformation]]s are generalized by [[contact transformation]]s, so the 19th century definition of canonical coordinates in classical mechanics may be generalized to a more abstract 20th century definition of coordinates on the [[cotangent bundle]] of a [[manifold]].-->

==古典力学での定義==
[[古典力学]]において、'''正準座標'''は、[[相空間]]の中の座標 <math>q_i\,</math> と <math>p_i\,</math> であり、[[ハミルトン力学|ハミルトン定式化]]の中で使われる。正準座標は、基本的な[[ポアソン括弧]]の関係式

:<math>\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}</math>

を満す。正準座標の典型例は、<math>q_i</math> を通常の[[直交座標系]]とし、<math>p_i</math> を[[運動量]]の成分とする例である。従って、一般的には、<math>p_i</math> 座標は「共役運動量」を表わす。

正準座標は、[[ルジャンドル変換]]により[[ラグランジュ力学|ラグラジアン定式化]]の[[一般化座標系|一般座標]]から、あるいは、[[正準変換]]により他の正準座標系から得られる。
<!--==Definition, in classical mechanics==
In [[classical mechanics]], '''canonical coordinates''' are coordinates <math>q_i\,</math> and <math>p_i\,</math> in [[phase space]] that are used in the [[Hamiltonian mechanics|Hamiltonian]] formalism. The canonical coordinates satisfy the fundamental [[Poisson bracket]] relations:

:<math>\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}</math>

A typical example of canonical coordinates is for <math>q_i</math> to be the usual [[Cartesian coordinates]], and <math>p_i</math> to be the components of [[momentum]]. Hence in general, the <math>p_i</math> coordinates are referred to as "conjugate momenta."

Canonical coordinates can be obtained from the [[generalized coordinates]] of the [[Lagrangian mechanics|Lagrangian]] formalism by a [[Legendre transformation]], or from another set of canonical coordinates by a [[canonical transformation]].-->

==余接バンドル上での定義==
正準座標は、[[多様体]]の[[余接束|余接バンドル]]上の特別な[[座標]]系として定義される。正準座標は通常、座標系 <math>(q^i,p_j)</math> または <math>(x^i,p_j)</math> として書かれ、''x'' または ''q'' は基礎となる多様体上の座標を表し、''p'' は'''共役運動量'''を表す。共役運動量は、多様体の点 ''q'' での余接バンドル内の[[1形式]]である。

正準座標の共通な定義は、{{仮リンク|正準1-形式|label=正準 1-形式|en|canonical one-form}}(canonical one-form)が

:<math>\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i</math>

と書くことができるような余接バンドル上の座標系で、全微分に対し一意的に定義される。この形式を保存する座標変換は、[[正準変換]]である。これらは[[シンプレクティック同相写像]]の特別な場合であり、本質的には[[シンプレクティック多様体]]上の座標変換である。

次に述べることは、多様体が実多様体であると仮定し、従って、接ベクトルに作用する余接ベクトルが実数となる。
<!--==Definition, on cotangent bundles==
Canonical coordinates are defined as a special set of [[coordinates]] on the [[cotangent bundle]] of a [[manifold]]. They are usually written as a set of <math>(q^i,p_j)</math> or <math>(x^i,p_j)</math> with the ''x'' 's or ''q'' 's denoting the coordinates on the underlying manifold and the ''p'' 's denoting the '''conjugate momentum''', which are [[1-form]]s in the cotangent bundle at point ''q'' in the manifold.

A common definition of canonical coordinates is any set of coordinates on the cotangent bundle that allow the [[canonical one-form]] to be written in the form
:<math>\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i</math>

up to a total differential. A change of coordinates that preserves this form is a [[canonical transformation]]; these are a special case of a [[symplectomorphism]], which are essentially a change of coordinates on a [[symplectic manifold]].

In the following exposition, we assume that the manifolds are real manifolds, so that cotangent vectors acting on tangent vectors produce real numbers.-->

==発展==
多様体 ''Q'' が与えられると、その上の[[ベクトル場]] ''X'' は（同じことであるが、[[接束|接バンドル]] ''TQ'' の'''[[断面 (位相幾何学)|切断]]'''）、[[余接束|余接バンドル]]上に作用する函数と考えられる。すると、接空間と余接空間の双対性により、このことは、函数
:<math>P_X:T^*Q\to \mathbb{R}</math>
を定義し、
:<math>P_X(q,p)=p(X_q)</math>
が <math>T_q^*Q</math> の中のすべての余接ベクトル ''p'' に対して成立する。ここに、<math>X_q</math> は点 ''q'' での多様体 ''Q'' の接空間 <math>T_qQ</math> の上のベクトルである。函数 <math>P_X</math> は ''X'' に対応する'''運動量函数'''と呼ばれる。

[[多様体#局所座標系|局所座標系]]では、点 ''q'' でのベクトル場 ''X'' は、
:<math>X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}</math>
と書くことができる。ここに <math>\partial /\partial q^i</math> は ''TQ'' の座標系である．共役運動量は、
:<math>P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i</math> 
と書くことができる。ここに <math>p_i</math> はベクトル運動量函数 <math>\partial /\partial q^i</math> に対応する運動量函数として定義される。
:<math>p_i = P_{\partial /\partial q^i}</math> ．
<math>q^i</math> と <math>p_j</math> は共に余接バンドル <math>T^*Q</math> 上の座標系を形成する。これらの座標を'''正準座標'''と呼ぶ。
<!--==Formal development==
Given a manifold ''Q'', a [[vector field]] ''X'' on ''Q'' (or equivalently, a '''[[section (fiber bundle)|section]]''' of the [[tangent bundle]] ''TQ'') can be thought of as a function acting on the [[cotangent bundle]], by the duality between the tangent and cotangent spaces.  That is, define a function
:<math>P_X:T^*Q\to \mathbb{R}</math>
such that
:<math>P_X(q,p)=p(X_q)</math>
holds for all cotangent vectors ''p'' in <math>T_q^*Q</math>. Here, <math>X_q</math> is a vector in <math>T_qQ</math>, the tangent space to the manifold ''Q'' at point ''q''.  The function <math>P_X</math> is called the '''momentum function''' corresponding to ''X''.

In [[atlas (topology)|local coordinates]], the vector field ''X'' at point ''q'' may be written as
:<math>X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}</math>
where the <math>\partial /\partial q^i</math> are the coordinate frame on TQ. The conjugate momentum then has the expression 
:<math>P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i</math> 
where the <math>p_i</math> are defined as the momentum functions corresponding to the vectors <math>\partial /\partial q^i</math>:
:<math>p_i = P_{\partial /\partial q^i}</math>
The <math>q^i</math> together with the <math>p_j</math> together form a coordinate system on the cotangent bundle <math>T^*Q</math>; these coordinates are called the '''canonical coordinates'''.-->

==一般座標==
[[ラグランジュ力学]]においては、[[一般化座標系|一般座標]]と呼ばれる異る座標系を使う。これらは、共通して、<math>(q^i,\dot{q}^i)</math> と書かれ、<math>q^i</math> は'''一般の位置'''と呼ばれ <math>\dot{q}^i</math> は'''一般の速度'''と呼ばれる．余接バンドル上に[[ハミルトニアン]]が定義されると、一般座標は正準座標と[[ハミルトン・ヤコビ方程式]]により関係付けられる。
<!--==Generalized coordinates==
In [[Lagrangian mechanics]], a different set of coordinates are used, called the [[generalized coordinates]].  These are commonly denoted as <math>(q^i,\dot{q}^i)</math> with <math>q^i</math> called the '''generalized position''' and <math>\dot{q}^i</math> the '''generalized velocity'''.  When a [[symplectic vector field|Hamiltonian]] is defined  on the cotangent bundle, then the generalized coordinates are related to the canonical coordinates by means of the [[Hamilton–Jacobi equation]]s.-->

==参照項目==
* [[シンプレクティック多様体]]
* [[ハミルトニアン]]
* [[シンプレクティック同相写像]]
* [[運動量]]

==参考文献==
<references/>
*{{cite book |last1=Goldstein |first1=Herbert |authorlink1=Herbert Goldstein |last2=Poole | first2=Charles P., Jr. |last3=Safko |first3=John L. |title=Classical Mechanics |edition=3rd |year=2002 |url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Classical-Mechanics/9780201657029.page |isbn=0-201-65702-3 |publisher=Addison Wesley |location=San Francisco|pages=347–349}}

{{DEFAULTSORT:せいしゆんさひよう}}
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:シンプレクティック幾何学]]
[[Category:ハミルトン力学]]
[[Category:ラグランジュ力学]]
[[Category:座標]]