正準量子化のソースを表示

'''正準量子化'''（せいじゅんりょうしか、{{lang-en-short|canonical quantization}}）とは、古典力学的な理論から量子力学的な理論を推測する手法（[[量子化 (物理学)|量子化]]）の一種である<ref name ="igi_kawai1994_section6.5">[[#igi_kawai1994|猪木、河合 (1994)、&sect;6.5]]</ref>。具体的には、[[ハミルトン力学|ハミルトン力学(ハミルトン形式の古典力学)]]での[[正準変数]]を、[[正準交換関係]]をみたすような[[エルミート演算子]]に置き換える。この方法では、ハミルトン力学における[[ハミルトン力学|ポアソン括弧]]が、量子力学での[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]に対応している<ref name ="igi_kawai1994_section6.6">[[#igi_kawai1994|猪木、河合 (1994)、&sect;6.6]]</ref>。正準量子化により、古典力学では可換であった力学量(c-数、cはclassicalを表す)のなす代数は、量子力学では非可換な力学量(q-数、qはquantumを表す)のなす代数に移行する。

==解説==
正準量子化とは、量子力学的な系を扱う際に、古典力学から量子力学での対応則を構成する手法である。その具体的な手続きは、以下のようにまとめられる<ref name ="igi_kawai1994_section6.5"></ref>。

===正準量子化の手続き===
#対象とする系を[[ハミルトン力学|ハミルトン力学(正準形式)]]で記述する。
#正準形式における正準変数{{math|(''q'', ''p'')}}を、[[正準交換関係]]を満たす演算子 {{math|({{hat|''q''}}, {{hat|''p''}})}}に置き換える。
#正準変数{{math|(''q'', ''p'')}}の関数である古典的力学量{{math|''A''(''q'', ''p'')}}について、正準変数の項を2で定めた演算子 {{math|({{hat|''q''}}, {{hat|''p''}})}}に置き換える。この操作によって、古典的力学量{{math|''A''{{=}}''A''(''q'', ''p'')}}の量子力学的対応物{{math|{{hat|''A''}}{{=}}{{hat|''A''}}({{hat|''q''}}, {{hat|''p''}})}}を定める。


2の操作を、より詳細に述べると以下のようになる。

===1自由度の場合===
古典的な正準変数 {{math|(''q'', ''p'')}}を、正準交換関係
<math display="block">[\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar</math>
をみたす演算子 {{math|({{hat|''q''}}, {{hat|''p''}})}}に置き換える。

===N自由度の場合===
古典的な正準変数 {{math|(''q''<sub>1</sub>, ''p''<sub>1</sub>; ''q''<sub>2</sub>, ''p''<sub>2</sub>; ...; ''q''<sub>''N''</sub>,  ''p''<sub>''N''</sub>)}} を、正準交換関係
<math display="block">[\hat{q}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] = i\hbar\delta_{\alpha\beta}</math>
<math display="block">[\hat{q}_{\alpha},\hat{q}_{\beta}] = [\hat{p}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] = 0 \quad \alpha ,\beta=1, \dots ,N</math>
をみたす演算子に置き換える。

正準量子化における演算子の不定性などの問題については、[[正準量子化#正準量子化における諸問題|正準量子化における諸問題]]の項を参照のこと。

==状態の表示==
正準量子化では、座標表示の波動関数に対して、位置演算子は{{math|{{hat|''q''}}{{=}}''q''}}と作用し、運動量演算子は{{math|{{hat|''p''}}{{=}}{{frac|{{hbar}}|''i''}}{{frac|&part;|&part;''q''}}}}と作用する<ref name ="igi_kawai1994_section6.5"></ref>。一方、運動量表示の波動関数に対して、位置演算子は{{math|{{hat|''q''}}{{=}}&minus;{{frac|{{hbar}}|''i''}}{{frac|&part;|&part;''p''}}}}と作用し、運動量演算子は{{math|{{hat|''p''}}{{=}}''p''}}と作用する<ref name ="igi_kawai1994_section6.5"></ref><ref name ="yukawa1991_section3.1">[[#yukawa1991|湯川、他 (1991)、&sect;3.1]]</ref>。これらの関係は正準交換関係及び位置の固有状態と運動量の固有状態の満たす関係式から導かれる<ref name ="yukawa1991_section4.4">[[#yukawa1991|湯川、他 (1991)、&sect;4.4]]</ref>。

===1次元のケース===
1次元の粒子に対し、波動関数を{{math|''&psi;''(''q'', ''t'')}}とする。ここで{{mvar|t}} は時間、{{mvar|q}} は位置座標である。{{math|''&psi;''(''q'', ''t'')}}は座標表示の波動関数と呼ばれる。このとき、位置演算子と運動量演算子は次のように作用する。

<math display="block">\hat{q} \, \psi(q,t) =q \, \psi(q,t)</math>
<math display="block">\hat{p} \, \psi(q,t) =\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}\, \psi(q,t)</math>

位置表示において、

<math display="block">[ \hat{q} , \, \hat{p}] \psi(q,t) =
\left ( q\,  \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q} - \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q} \, q \right ) \psi(q,t)
=i \hbar \, \psi(q,t)</math>

であり、正準交換関係が満たされている。

一方、運動量表示での波動関数は

<math display="block">\tilde{\psi}(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} \! dq \, e^{\frac{i}{\hbar}qp} \psi(q,t) </math>

で定義される。このとき、{{math|{{tilde|''&psi;''}}(''p'', ''t'')}}に対し、位置演算子と運動量演算子は次のように作用する。

<math display="block">\hat{q} \, \tilde{\psi} (p,t) =- \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p} \, \tilde{\psi} (p,t)</math>
<math display="block">\hat{p} \, \tilde{\psi} (p,t) =p \, \tilde{\psi} (p,t)</math>

運動表示においても、

<math display="block">[ \hat{q} , \, \hat{p}] \tilde{\psi}(p,t) =
\left ( \biggl (- \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p }  \biggr ) \, p-p \, \biggl (- \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p } \biggr )  \right ) \tilde{\psi}(p,t)
=i \hbar \, \tilde{\psi}(p,t)</math>

であり、正準交換関係が満たされている。

==具体例==
===1自由度の場合===
====1次元デカルト座標の場合の例====
1次元の量子系を考え、波動関数の状態空間として、座標表示したものを選ぶ。すなわち、座標 {{mvar|x}} と時間 {{mvar|t}} の関数{{math|''&psi;''(''x'', ''t'')}}のうち、自乗可積分なもの（座標表示の[[波動関数]]）全体が、系の[[ヒルベルト空間]]をなす。ここで、座標 {{mvar|x}} と正準共役運動量 {{mvar|p<sub>x</sub>}} を、
<math display="block">\hat{x}\psi(x,t)=x\psi(x,t)</math>
<math display="block">\hat{p}_x\psi(x,t) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial{}x}\psi(x,t)</math>
で定義される演算子{{math|{{hat|''x''}}}}, {{math|{{hat|''p''<sub>''x''</sub>}}}}で置き換える。このとき、
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}_x]\psi(x,t) = i\hbar\psi(x,t)</math>
となり、{{math|{{hat|''x''}}}}, {{math|{{hat|''p''<sub>''x''</sub>}}}}が正準交換関係をみたしていることがわかる。
つまり、座標表示では掛け算演算子としての{{math|{{hat|''x''}}}}と微分演算子としての{{math|{{hat|''p''<sub>''x''</sub>}}}}が、正準変数{{math|''x''}}, {{math|''p''<sub>''x''</sub>}}の正準量子化による量子力学的表現となる。
系の古典力学的なハミルトニアンが
<math display="block">H(x,p_x)=\frac{p_x^{\, 2}}{2m}+V(x)</math>
で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンは
<math display="block">\hat{H}=H(\hat{x},\hat{p}_x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)</math>
となる。

==古典力学との対応==
===交換関係とポアソン括弧===
正準量子化の操作は、古典力学での「ポアソン括弧」と量子力学における「交換関係」の対応原理を考えると、より明確になる<ref name ="igi_kawai1994_section6.6"></ref>。
<math display="block"> \{A,B\} =  \sum_{\alpha} \left( \frac{\partial{}A}{\partial{}q_{\alpha}}\frac{\partial{}B}{\partial{}p_{\alpha}}-\frac{\partial{}B}{\partial{}q_{\alpha}}\frac{\partial{}A}{\partial{}p_{\alpha}}\right)\Leftrightarrow
\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}]=\frac{1}{i\hbar}\left( \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\right)</math>

実際、正準変数については、
<math display="block">\{ q_{\alpha},p_{\beta}\}=\delta_{\alpha\beta} \Leftrightarrow [\hat{q}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] = i \hbar \delta_{\alpha\beta}</math><br />
<math>\{ q_{\alpha},q_{\beta}\}=\{ p_{\alpha},p_{\beta}\}=0 \Leftrightarrow [\hat{q}_{\alpha},\hat{q}_{\beta}] = [\hat{p}_{\alpha},\hat{p}_{\beta}] = 0</math>
の関係が成り立つ。力学量の時間発展についても、この対応原理から
<math display="block">\frac{dA}{dt}=\{A, H\}+\frac{\partial A}{\partial t}\Leftrightarrow \frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{H}]+\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}</math>
と[[ハイゼンベルクの運動方程式]]が現れる。
言い換えれば、正準量子化では、ハミルトン力学における2つのc-数の力学量{{mvar|A}}, {{mvar|B}}の満たすポアソン括弧を、q-数(演算子)の力学量{{mvar|{{hat|A}}}}, {{mvar|{{hat|B}}}}の満たす交換関係に対応させ、その関係を通じて量子力学的表現を得ているともいえる。これらの対応原理は1925年に[[ポール・ディラック|ディラック]]によって明らかにされた{{sfn|Dirac|1925}}。

==正準量子化における諸問題==
正準量子化は量子系に移行する一定の規則を与えるが、古典系におけるc-数は可換であるのに対し、量子系のq-数は一般に非可換となり、演算子の積については順序の不定性が残る<ref name ="yukawa1991_section3.2">[[#yukawa1991|湯川、他 (1991)、&sect;3.2]]</ref>。また、量子化後にエルミート演算子同士の積はエルミート演算子にはならない<ref name ="yukawa1991_section3.2"></ref>。こうした問題を回避する方法として、[[ワイルの対称化法]](Weyl Calculus)や[[経路積分]]量子化等の方法が知られている。

また正準量子化をするには、その系に対応する正準形式の古典力学を知る必要がある。一方で経路積分量子化では、ラグランジアンが分かれば量子化することができる。

== 第二量子化 ==
{{main|第二量子化}}
量子力学における正準量子化の方法は粒子に対する量子化を与えるが、場の量についても、正準量子化を適用することができる。場の量に対する正準量子化(第二量子化)では、[[場の演算子]]{{math|''&varphi;''(''t'', '''x''')}}と対応する正準運動量{{math|''&pi;''(''t'', '''x''')}}に対し、同時刻での正準交換関係

<math display="block">
[ \phi(t, \mathbf{x}),  \pi(t, \mathbf{y}) ] =i \hbar \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y})
</math>

を課すことで行われる。

== 脚注 ==
{{reflist}} 

== 参考文献 ==
* {{cite journal|first=P. A. M.|last=Dirac|authorlink=ポール・ディラック|title=The Fundamental Equations of Quantum Mechanics|journal=Proc. R. Soc. Lond. A|volume=109|issue=752|pages=642&ndash;653|date=1925-12|doi=10.1098/rspa.1925.0150|ref=harv}}
* {{Cite book |和書
|author1=猪木慶治
|authorlink1=猪木慶治
|author2=川合光
|authorlink2=川合光
|title=量子力学1
|publisher=講談社
|year=1994
|isbn= 978-4061532090
|ref=igi_kawai1994}} 
* {{Cite book |和書
|author1=湯川秀樹
|authorlink1=湯川秀樹
|author2=並木美喜雄
|authorlink2=並木美喜雄
|author3=江沢洋
|authorlink3=江沢洋
|author4=豊田利幸 
|authorlink4=豊田利幸
|author5=高木修二
|authorlink5=高木修二 (物理学者) 
|author6=田中正
|authorlink6=田中正（物理学者）
|author7=位田正邦
|authorlink7=位田正邦
|others=
|title=量子力学Ｉ
|series=新装版 現代物理学の基礎3
|publisher=岩波書店
|edition=
|year=2011
|isbn=978-4000298032
|ref=yukawa1991}}

==関連項目==
* [[量子力学]] 
* [[量子化 (物理学)|量子化]]
* [[交換関係 (量子力学)]]

{{DEFAULTSORT:せいしゆんりようしか}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:数学的量子化]]

[[uk:Вторинне квантування ферміонів]]