正規作用素のソースを表示

{{Refimprove|date=June 2011}}
[[数学]]の特に[[函数解析学]]における'''正規作用素'''（せいきさようそ、{{lang-en-short|''normal operator''}}）は、複素[[ヒルベルト空間]] ''H'' 上の[[連続線型作用素]] {{math|''N'': ''H'' → ''H''}} で[[エルミート随伴]] {{math|''N''<sup>∗</sup>}} を持ち、{{math|''NN''<sup>∗</sup> {{=}} ''N''<sup>∗</sup>&thinsp;''N''}} を満たすものを言う<ref>{{cite book|author=Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray|year=1971|title=Linear Algebra|edition=Second|pages=312}}</ref>。

正規作用素が重要であるのは、それに対する[[スペクトル定理]]が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては
* [[ユニタリ作用素]]: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} ''N<sup>−1</sup>}}
* [[エルミート作用素]]（自己随伴作用素）: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} ''N''}};（あるいは反自己随伴作用素: {{math|''N''<sup>∗</sup> {{=}} −''N''}}）
* {{仮リンク|正作用素|en|Positive operator}}: {{math|1=''N'' = ''MM''<sup>∗</sup>}} ({{math|&exist;''M'': ''H'' &rarr; ''H''}} は[[有界作用素|有界]])
* [[正規行列]]は考えるヒルベルト空間が {{math|'''C'''<sup>''n''</sup>}} のときの正規作用素と考えられる。

== 性質 ==
正規作用素はその[[スペクトル定理]]によって特徴づけられる。[[ヒルベルト空間上のコンパクト作用素|コンパクト正規作用素]]（特に有限次元線型空間上の正規作用素）はユニタリ対角化可能である<ref>{{cite book|author=Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray|year=1971|title=Linear Algebra|edition=Second|pages=317}}</ref>。

有界作用素 {{mvar|T}} に対して以下の条件
* {{mvar|T}} は正規。
* {{math|''T''<sup>∗</sup>}} は正規。
* 任意の {{mvar|x}} に対して {{math|ǁ''Tx''ǁ {{=}} ǁ''T''<sup>∗</sup>''x''ǁ}} が成り立つ。
* {{mvar|T}} の自己随伴成分 {{math|''T''<sub>1</sub>}} と反自己随伴成分 {{math|''iT''<sub>2</sub>}} とが可換<ref>これに対して、[[場の量子論]]などで重要なクラスである[[生成消滅演算子|生成演算子と消滅演算子]]は非可換である。</ref>。
は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して {{math|1=ǁ''Tx''ǁ<sup>2</sup> = &lang;''T''<sup>∗</sup>&thinsp;''Tx'', ''x''&rang; = &lang;''TT''<sup>∗</sup>''x'', ''x''&rang; = ǁ''T''<sup>∗</sup>''x''ǁ<sup>2</sup>}} の形に見れば、四つ目は各成分が {{math|1=''T''<sub>1</sub> = (''T''<sup>∗</sup> + ''T'')/2, ''T''<sub>2</sub> = (''T''<sup>∗</sup> &minus; ''T'')''i''/2}} で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。

{{mvar|N}} が正規作用素ならば、{{mvar|N}} と {{math|''N''<sup>∗</sup>}} はその[[値域|像]]と[[核 (代数学)|核]]が等しい。ゆえに、{{mvar|N}} の像が稠密となる必要十分条件は {{mvar|N}} が単射となることである。別なやり方をすれば、正規作用素の核はその像の直交補空間である。従って、任意の正整数 {{mvar|k}} に対して作用素 {{mvar|N<sup>k</sup>}} の核は {{mvar|N}} 自身の核と等しく、正規作用素の任意の広義固有値は通常の固有値である。{{mvar|λ}} が正規作用素 {{mvar|N}} の固有値であるための必要十分条件は、その複素共軛 {{mvar|{{overline|&lambda;}}}} が {{math|''N''<sup>∗</sup>}} の固有値となることである。正規作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする<ref name=Naylor>{{cite book |author=Naylor, Arch W.; Sell George R.|title=Linear Operator Theory in Engineering and Sciences|publisher=Springer|location=New York|year=1982 |pages= |isbn=978-0-387-95001-3|url=https://books.google.co.jp/books?id=t3SXs4-KrE0C&dq=naylor+sell+linear&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、{{仮リンク|射影値測度|en|projection-valued measures}}を用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である<ref name=Naylor/>。

互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなく{{仮リンク|フーグリードの定理|en|Fuglede's theorem}}から従う。フーグリードの定理（のパットナムが拡張した形）は
; 定理 (Fuglede&ndash;Putnam)
: 二つの正規作用素 {{math|''N''<sub>1</sub>, ''N''<sub>2</sub>}} に対し、[[有界作用素]] {{mvar|A}} で {{math|''N''<sub>1</sub>''A'' {{=}} ''AN''<sub>2</sub>}} を満たすものが存在すれば {{math|''N''<sub>1</sub><sup>∗</sup>''A'' {{=}} ''AN''<sub>2</sub><sup>∗</sup>}} が成立する。

正規作用素の作用素ノルムは、その{{仮リンク|数域半径|en|numerical radius}}および[[スペクトル半径]]に等しい。

正規作用素はその{{仮リンク|アルスゲ変換|en|Aluthge transform}}と一致する。

== 有限次元の場合の性質 ==
{{see also|正規行列}}
'''有限次元'''の実または複素ヒルベルト空間（内積空間）{{mvar|H}} 上の正規作用素 {{mvar|T}} が部分空間 {{mvar|V}} を保つならば、{{mvar|T}} はその直交補空間 {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} も保つ（この主張は {{mvar|T}} が自己随伴ならば自明である）。

[証明]. {{mvar|P<sub>V</sub>}} を {{mvar|V}} の上への直交射影とすれば {{math|''V''<sup>⊥</sup>}} の上への直交射影は {{math|'''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>''}} である。{{math|''T''}} が {{math|''V''}} を保つことは {{math|('''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>'')''TP<sub>V</sub>'' {{=}} 0}} または {{math|''TP<sub>V</sub>'' {{=}} ''P<sub>V</sub>TP<sub>V</sub>''}} で表されるという事実を用いれば、目的は {{math|1=''X'' {{coloneqq}} ''P<sub>V</sub>T''('''1'''<sub>''H''</sub> − ''P<sub>V</sub>'') = 0}} を示すことに言い換えられる。{{math|(''A'', ''B'') ↦ tr(''AB''<sup>∗</sup>)}} が {{mvar|H}} の自己準同型全体の成すベクトル空間上の[[内積]]となることから、{{math|tr(''XX''<sup>∗</sup>) {{=}} 0}} を示せば十分である。そこでまずは ''XX''<sup>∗</sup> を直交射影で書きなおせば
: <math>XX^* = P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)^2T^*P_V= P_VT(\boldsymbol{1}_H-P_V)T^*P_V = P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V</math>
となるから、ここで[[蹟 (線型代数学)|トレース]]と直交射影の性質に従って計算すれば
: <math>\begin{align}
\operatorname{tr}(XX^*) &= \operatorname{tr} \left ( P_VTT^*P_V - P_VTP_VT^*P_V \right ) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*P_V) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*P_V) \\
&= \operatorname{tr}(P_V^2TT^*) - \operatorname{tr}(P_V^2TP_VT^*) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VTP_VT^*) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(TP_VT^*) \\
&= \operatorname{tr}(P_VTT^*) - \operatorname{tr}(P_VT^*T) \\
&= \operatorname{tr}(P_V(TT^*-T^*T)) = 0
\end{align}</math>
を得る。

同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、{{仮リンク|ヒルベルト-シュミット作用素|en|Hilbert–Schmidt operator|label=ヒルベルト・シュミット内積}}を用いて通用する<ref>{{cite journal|author=Andô, Tsuyoshi|year=1963|title=Note on invariant subspaces of a compact normal operator|journal=Archiv der Mathematik|volume=14|pages=337–340|doi=10.1007/BF01234964}}</ref>。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る<ref name=Garrett>{{cite web|author=Garrett, Paul|year=2005|title=Operators on Hilbert spaces|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf|accessdate=2014-02-19}}</ref>。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えば{{仮リンク|両側シフト作用素|en|bilateral shift}}を考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間は{{仮リンク|バーリングの定理|en|Beurling's theorem}}によって特徴づけられる。

== 対合環の正規元 ==
正規作用素の概念は[[*-代数|対合線型環]]への一般化される。つまり、対合線型環の元 {{mvar|x}} が'''正規'''であるとは、 {{math|''xx''<sup>∗</sup> {{=}} ''x''<sup>∗</sup>&thinsp;''x''}} を満たすときに言う。最も重要な場合は、対合線型環が[[C*-環| {{math|''C''<sup>∗</sup>}}-線型環]]であるときである。{{仮リンク|正作用素|en|positive element|label=正元}}は正規元の例である。

== 非有界正規作用素 ==
有界作用素の定義は、ある種の非有界作用素のクラスに対しては自然に一般化される。具体的には、[[閉作用素]] {{mvar|N}} が正規であることを
: <math>N^*N = NN^*</math>
で定める。ここで随伴 {{math|''N''<sup>∗</sup>}} の存在性は {{mvar|N}} の定義域が稠密であることを、等号は {{math|''N''<sup>∗</sup>''N''}} の定義域が {{math|''NN''<sup>∗</sup>}} の定義域と等しいことをそれぞれ含意するが、この場合一般には必要でない。

非有界正規作用素に対してもスペクトル定理はやはり成り立つが、ふつうは別に証明が必要である。

== 一般化 ==
正規作用素論の成功は、その可換性条件を緩めた様々な一般化への呼び水となった。そのような正規作用素を含む作用素のクラスには
* [[準正規作用素]]
* {{仮リンク|部分正規作用素|en|Subnormal operator}}
* [[劣正規作用素]]
* [[パラノーマル作用素|パラ正規作用素]]
* {{仮リンク|ノーマロイド作用素|en|Normaloid|label=擬正規作用素}}
などがある（上記は、後のものが前のものを含むより広いクラスとなるような順番で並べてある）。

== 注釈 ==
<references />

== 参考文献 ==
* Hoffman, Kenneth and Kunze, Ray. ''Linear Algebra''. Second Edition. 1971. Prentice-Hall, Inc. 

<!--{{Functional Analysis}}-->
{{DEFAULTSORT:せいきさようそ}}
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]