正規拡大のソースを表示

[[抽象代数学]]において、体の[[代数拡大]] ''L''/''K'' は、''L'' が ''K''[''X''] の[[多項式]]の族の[[分解体]](splitting field)であるときに、'''正規'''（{{lang-en-short|normal}}）という。[[ブルバキ]]はそのような拡大を'''準[[ガロワ拡大]]'''(quasi-Galois extension) と呼んでいる。

== 同値な性質、および例 ==

''L''/''K'' の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。''K''<sup>''a''</sup> を ''K'' の ''L'' を含む[[代数的閉包]]とする。

* ''K'' 上恒等写像であるような ''L'' の ''K''<sup>''a''</sup> へのすべての[[埋め込み (数学)|埋め込み]] は σ(''L'')&nbsp;=&nbsp;''L'' を満たす。言い換えると、σ は ''L'' の ''K''-同型である。
* ''L'' に根をもつような ''K''[''X''] のすべての[[既約多項式]]は ''L'' に根をすべてもつ。すなわち、''L''[''X''] において一次式に分解する。（多項式は ''L'' で ''分解する'' (split) と言う。）

''L'' が ''K'' の有限次[[分離拡大]]（例えば、これは ''K'' が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。

* 根が ''K'' の元とともに ''L'' を生成するような既約多項式が存在する。（''L'' はその多項式の[[分解体]]であると言う。）

例えば、<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math> は <math>\mathbb{Q}</math> の正規拡大である。なぜならば、''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2 の分解体だからである。一方、<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> は <math>\mathbb{Q}</math> の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 ''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2 はその中に1つの根（すなわち <math>\sqrt[3]{2}</math>）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。

<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> は <math>\mathbb{Q}</math> の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。[[代数的数]]体 <math>\mathbb{A}</math> は <math>\mathbb{Q}</math> の代数的閉包であって <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> を含む。一方、
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{A}\,|\,a,b,c\in\mathbb{Q}\}</math>
であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像
:<math>\begin{array}{rccc}\sigma:&\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})&\longrightarrow&\mathbb{A}\\&a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}&\mapsto&a+b\omega\sqrt[3]{2}+c\omega^2\sqrt[3]{4}\end{array}</math>
は <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> の <math>\mathbb{A}</math> への埋め込みであって、<math>\mathbb{Q}</math> への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> の同型写像ではない。

任意の素数 ''p'' に対して、拡大 <math>\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)</math> は次数 ''p''(''p''&nbsp;−&nbsp;1) の正規拡大である。これは ''x<sup>p</sup>''&nbsp;−&nbsp;2 の分解体である。ここで <math>\zeta_p</math> は任意の 1 の原始 ''p'' 乗根を表す。体 <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)</math> は <math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math> の正規閉包（下記参照）である。

== 他の性質 ==

''L'' を体 ''K'' の拡大とすると、

* ''L'' が ''K'' の正規拡大で ''E'' が中間体（すなわち ''L''&nbsp;⊃&nbsp;''E''&nbsp;⊃&nbsp;''K''）であれば、''L'' は ''E'' の正規拡大である。''E'' は ''K'' の正規拡大とは限らない。
* ''E'' と ''F'' が ''L'' に含まれる ''K'' の正規拡大であれば、[[合成体]] ''EF'' および共通部分 ''E''&nbsp;∩&nbsp;''F'' も ''K'' の正規拡大である。

== 正規閉包 ==
''K'' が体で ''L'' が ''K'' の代数拡大であれば、''L'' の代数拡大 ''M'' が存在して ''M'' は ''K'' の正規拡大となる。しかも、同型を除いて、極小な、つまり、''L'' を含み ''K'' の正規拡大であるような ''M'' の唯一の部分体は ''M'' 自身であるような、そのような拡大は唯一である。この拡大は ''K'' の拡大 ''L'' の'''正規閉包''' (normal closure) と呼ばれる。

''L'' が ''K'' の有限次拡大であれば、その正規閉包もまた有限次拡大である。

== 関連項目 ==

*[[ガロワ拡大]]
*[[正規基底]] (Normal basis)

== 参考文献 ==

* {{Lang Algebra}}
* {{citation | last = Jacobson | first = Nathan | author-link = Nathan Jacobson | title = Basic Algebra II| edition = 2nd | year = 1989 | publisher = W.&nbsp;H. Freeman | isbn = 0-7167-1933-9}}

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