正規族のソースを表示

[[数学]]、特に[[複素解析]]への応用での'''正規族'''（せいきぞく、{{Lang-en-short|normal family}}）とは、[[連続写像]]の集合に[[コンパクト開位相]]を入れたときの[[相対コンパクト部分空間|相対コンパクト]]部分集合のことである。平たく言えば、これは写像族が広く散在せず、ある程度寄り集まっていることを意味する。[[関数空間]]の[[コンパクト空間|コンパクト]]集合を考えることは一般に興味深い。というのも本来的にこうした空間は普通、無限[[ハメル次元|次元]]になるからである。

より正式には、ある[[完備距離空間]]''X''で定義され、別の完備距離空間''Y''に値をとるような連続写像の[[族 (数学)|族]]（同義だが[[集合]]）''F''が正規族であるとは、''F''の元からなる任意の[[列 (数学)|列]]が、ある''X''から''Y''への連続写像へ[[コンパクト一様収束]]するような部分列を持つことを言う。つまり、任意の写像列に対し部分写像列 <math>f_n(x)</math> と''X''から''Y''への連続写像 <math>f(x)</math> が存在して、''X''の任意のコンパクト部分集合''K''に対して

:<math> \lim_{n\rightarrow\infty} \sup_{x\in K} d_Y(f_n(x),f(x)) = 0 </math>

となることを言う。ここで <math>d_Y(y_1,y_2)</math> は[[距離空間]]''Y''の[[距離関数]]。

==複素解析==
この定義は複素解析においてしばしば[[正則関数]]族に対して用いられる。この場合、集合''X''と''Y''は[[複素平面]]の部分集合で、<math>d_Y(y_1,y_2) = |y_1-y_2|</math>。[[コーシーの積分定理]]より、正則関数列がコンパクト一様収束するときの極限関数もまた正則関数になる。よって''X''が複素平面の部分集合で''Y'' = '''C'''とした場合、正則関数からなる正規族''F''とは、任意の関数列に対して部分関数列とある正則関数が存在して、''X''の任意のコンパクト部分集合上一様に収束するようにできるような関数族のことである。 
[[モンテルの定理]]により、{{仮リンク|局所有界|en|Local boundness}}な正則関数族は正規族になることがわかる。

正規族がよく用いられる別の関数空間に、[[有理型関数]]からなる空間がある。正則関数の場合と類似しているが、標準的な[[距離函数|計量]]の代わりに[[リーマン球面]]における計量を用いるものとする。つまり ''d'' をリーマン球面上の距離とするとき、収束 <math>f_n(z) \to f(z)</math> を <math>d\left(f_n(z),f(z)\right) </math> が 0 に行くことと定める。

==名称==
{{仮リンク|ポール・モンテル|en|Paul Montel}}は1912年にこの術語を造語した<ref>{{cite book
| url = https://books.google.com/books?id=BHc2b0iCoy8C
| title = Classical Topics in Complex Function Theory
| author = Reinhold Remmert, Leslie Kay
| publisher = Springer
| year = 1998
| pages = 154
| accessdate = 2009-03-01
}}</ref>。

この定義は古典的なもので、度々用いられてはいるものの、現代的な命名法とはそれほど整合的ではないことに注意。現代的な言い回しでは、連続関数（正則関数）の「正規族」という代わりに、当該空間にコンパクト部分集合上の収束に対応した距離を入れたときの「プレコンパクトな（関数）部分集合」というであろう。ただしこのようなより一般的な定義は、距離の定義が必要な分、取り扱いにくくはなっている。

==基準（十分条件）==
* [[モンテルの定理|モンテルの第1基準]]
* [http://eom.springer.de/n/n067510.htm モンテルの第2基準]
* {{仮リンク|フレデリック・マーティ|de|Frédéric Marty}}による第3基準<ref>[http://eom.springer.de/n/n067510.htm  The Online Encyclopaedia of Mathematics. Edited by Michiel Hazewinkel. Description of Marty's criterion, but without giving a name]</ref>。マーティは、1変数の有理型関数族に対する基準を証明した<ref>[http://www.math.md/files/basm/y2005-n2/y2005-n2-(pp94-98).pdf N. Gashitsoi : On a criterion of normality for mappings. ] [http://www.math.md/publications/basm/ BASM n.2 (48), 2005]</ref><ref>[http://pcwww.liv.ac.uk/~lrempe/workshops/liv_jan_08/ Lecture 1 : An Introduction to Holomorphic Dynamics. I. Introduction; Normal Families by L. Rempe. Department of Mathematical Sciences, University of Liverpool Liverpool, January 2008]</ref>。

==関連項目==
* {{仮リンク|Fundamental Normality Test|en|Fundamental Normality Test}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book | author = John B. Conway | title = Functions of One Complex Variable I | publisher = Springer-Verlag | year = 1978 | isbn=0-387-90328-3 }}
*{{cite book | author = J. L. Schiff | title = Normal Families | publisher = Springer-Verlag | year = 1993 | isbn=0-387-97967-0 }}
* [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=130208 Marty Frederic] :  Recherches sur la répartition des valeurs d’une function méromorphe. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 1931, 28, N 3, p.&nbsp;183–261.

{{PlanetMath attribution|id=5753|title=normal family}}

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