正規直交系のソースを表示

{{出典の明記|date=2022年3月}}
[[線型代数学]]並びに[[関数解析学]]における'''正規直交系'''（せいきちょっこうけい、{{lang-en-short|orthonormal system}}、'''ONS'''）は互いに[[直交]]しかつそのノルムが1に規格化された[[ベクトル空間|ベクトル]]の集まりである。

特に、正規直交系が[[完全系]]（任意のベクトルが正規直交系によって展開可能）である場合には、'''完全正規直交系'''（{{lang-en-short|complete orthonormal system}}）または'''正規直交基底'''と呼ばれ、'''CONS'''と表される。[[ヒルベルト空間]]論の基礎的な概念であるとともに、正規直交系に基づく展開原理は[[物理学]]、[[工学]]への応用において重要となる。

== 定義 ==

=== 直交系 ===
内積 {{math|&lang;&bull;, &bull;&rang;}} を有するベクトル空間 <math>V</math>（[[内積空間]]）において、ベクトル <math>x \in V</math> の集合 <math>\{ x_n \}</math> が互いに直交する、すなわち内積について

:<math>
\langle x_m, x_n \rangle =0 \quad (m \neq n)
</math>

が成り立つとき、<math>\{ x_n \}</math> は'''直交系'''（{{lang-en-short|orthogonal system}}）であるという。

=== 正規直交系 ===
直交系 <math>\{ e_n \}</math> が内積で定まる[[ノルム]]について規格化されている（{{math|{{!}}{{!}}''e<sub>n</sub>''{{!}}{{!}}{{=}}1}}）、すなわち、

:<math>
\langle e_m, e_n \rangle =\delta_{mn}
</math>

であるとき、<math>\{ e_n \}</math> は'''正規直交系'''であるという。ただし、{{math|&delta;''<sub>mn</sub>''}} は[[クロネッカーのデルタ]]である。

有限個または[[可算]]個の[[一次独立]]なベクトル {{math|&#123;''x<sub>n</sub>''&#125;}} が存在する場合、[[グラム・シュミットの正規直交化法]]により、{{math|&#123;''x<sub>n</sub>''&#125;}} から正規直交系を具体的に構成することができる。

=== 完全正規直交系 ===
内積で定まるノルムについて[[完備]]であるヒルベルト空間を論ずる際において、正規直交系は重要な役割を果たす。ヒルベルト空間において、正規直交系 {{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} が[[完全系]]である、すなわち

:<math>
\langle x, e_n \rangle = 0 \quad  \forall n
\Longrightarrow x=0
</math>

を満たすとき、{{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} は'''完全正規直交系'''、または'''正規直交基底'''であるという。完全正規直交系においては、任意のベクトル''x'' に対し、

:<math>
x = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle e_n
</math>

という展開が可能となる。ただし、無限列についてはノルムに関する収束を表すものとする。

任意のヒルベルト空間において、完全正規直交系は存在するが、特に[[可分]]なヒルベルト空間であれば、高々可算個からなる完全正規直交系が存在する<ref group="注釈">有限次元の内積空間においては、次元と等しい個数からなる完全正規直交系が存在する</ref>。

== 性質 ==

=== 完全正規直交系 ===
完全正規直交系の性質を特徴付ける定理として、次の[[同値性]]が成り立つ。
;定理
ヒルベルト空間 {{math|''H''}} の正規直交系 {{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} に対し、以下は同値となる。
# {{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} が完全正規直交系をなす。
# {{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} の一次結合全体が {{math|''H''}} で[[稠密]]である。
# '''（[[フーリエ級数]]）''' 任意の {{math|''x'' &isin;''H''}} について、<div style="margin: 1ex auto 1ex auto;">
#: <math>
x = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle e_n
</math> </div>が成り立つ。
# '''（[[リース＝フィッシャーの定理|リース・フィッシャーの等式]]）''' 任意の {{math|''x'' &isin;''H''}} について、<div style="margin: 1ex auto 1ex auto;">
#: <math>
\|x\|^2 = \sum_{n} |\langle x, e_n \rangle  |^2
</math> </div>が成り立つ。
#'''（[[パーセバルの定理|パーセバルの等式]]）''' 任意の {{math|''x'', ''y'' &isin;''H''}} について、<div style="margin: 1ex auto 1ex auto;">
#: <math>
\langle x, y \rangle  = \sum_{n} \langle x, e_n \rangle  \langle e_n, y \rangle
</math> </div>が成り立つ。

== 正規直交系の例 ==
=== 完全系の例 ===
;自乗総和可能数列空間の基底
{{mvar|n}} 番目の成分だけ 1 でそれ以外を 0 とする数列

:<math>
e_n=(0, 0,\dots, 0, 1, 0, \dots) \quad (n=1,2,\dots)
</math>

で与えられる {{math|&#123;''e<sub>n</sub>''&#125;}} は {{math|''l''<sup>2</sup>}} 空間の完全正規直交系である。

;三角関数系
定数関数 {{math|1/{{sqrt|2&pi;}}}} と三角関数の列

:<math>
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \,
\frac{\cos{\pi t}}{\sqrt{\pi}}, \,\frac{\sin{\pi t}}{\sqrt{\pi}},\,
\frac{\cos{2\pi t}}{\sqrt{\pi}},\, \frac{\sin{2\pi t}}{\sqrt{\pi}} , \dots
</math>

からなる {{math|&#123;1/{{sqrt|2&pi;}}, cos(''n''&pi;''t'')/{{sqrt|&pi;}}, sin(''n''&pi;''t'')/{{sqrt|&pi;}} &#125;<sub>''n''{{=}}1,2,&hellip;</sub>}} は、{{math|''L''<sup>2</sup>([&minus;&pi;, &pi;])}} で完全正規直交系である。

=== 完全系でない例 ===
;正弦関数系
正弦関数の列

:<math>
\frac{\sin{\pi t}}{\sqrt{\pi}},\, \frac{\sin{2\pi t}}{\sqrt{\pi}},\,
\frac{\sin{3\pi t}}{\sqrt{\pi}} , \dots
</math>
からなる {{math|&#123; sin(''n''&pi;''t'')/{{sqrt|&pi;}} &#125;<sub>n{{=}}1,2,&hellip;</sub>}} は、{{math|''L''<sup>2</sup>([&minus;&pi;,&pi;])}} で正規直交系をなすが、完全系ではない。実際、偶関数は {{math|&#123; sin(''n''&pi;''t'')/{{sqrt|&pi;}} &#125;<sub>''n''{{=}}1,2,&hellip;</sub>}} では展開できない。

;ラーデマッハ関数系
区間 {{math|[0, 1]}} 上で{{仮リンク|ラーデマッハ関数|en|Rademacher system}}は、

:<math>
r_n(t)=\operatorname{sgn}(\sin{2^n\pi t}) \quad (n=0,1,2,\dots)
</math>

で定義される。{{math|&#123;''r<sub>n</sub>''(''t'')&#125;}} は {{math|''L''<sup>2</sup>([0, 1])}} で正規直交系であるが、完全系ではない。


== 正規直交化法による構成 ==
:{{Details|グラム・シュミットの正規直交化法}}
[[グラム・シュミットの正規直交化法]]を応用することで、一次独立なベクトルの集合から正規直交系を構成することができる。

=== 直交多項式の例 ===
:{{Details|直交多項式}}
;ルジャンドル多項式
区間 {{math|[&minus;1, 1]}} 上の関数列

:<math>
1, t, t^2, \dots
</math>

を {{math|''L''<sup>2</sup>([&minus;1, 1])}} で正規直交化することで、

:<math>
p_n(t)=\frac{1}{2^nn!} \biggl (n+\frac{1}{2} \biggr )^{1/2} 
\frac{d^n}{d t^n}(t^2-1)^n \quad (n=0,1,2, \dots)
</math>

からなる正規直交系 {{math|&#123;''p<sub>n</sub>''(''t'')&#125;}} を得る。これは[[ルジャンドル多項式]] {{math|''P<sub>n</sub>''(''t'')}} に規格化定数 {{math|(''n'' + 1/2)<sup>1/2</sup>}} を乗じた直交多項式である:

:<math>
p_n(t)= \biggl (n+\frac{1}{2} \biggr )^{1/2} P_n(t)
</math>

;エルミート多項式
{{math|'''R'''}} 上で一次独立な

:<math>
e^{-t^2/2}, t e^{-t^2/2}, t^2 e^{-t^2/2}, \dots
</math>

を {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}} で正規直交化することで、

:<math>
h_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}}(-1)^n  \frac{d^n}{d t^n}e^{-t^2/2}
\quad (n=0,1,2, \dots)
</math>

からなる正規直交系 {{math|&#123;''h<sub>n</sub>''(''t'')&#125;}} を得る。これは[[エルミート多項式]] {{math|''H<sub>n</sub>''(''t'')}} に {{math|(2&pi;)<sup>&minus;1/4</sup>(''n''!)<sup>&minus;1/2</sup>e<sup>&minus;''t''<sup>2</sup>/2</sup>}} を乗じた関数系である;

:<math>
h_n(t)= \frac{1}{\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}}e^{-t^2/2} H_n(t) </math>

;ラゲール多項式
{{math|[0, &infin;)}} で一次独立な

:<math>
e^{-t/2}, t e^{-t/2}, t^2 e^{-t/2}, \dots
</math>

を {{math|''L''<sup>2</sup>([0, &infin;))}} で正規直交化することで、正規直交系

:<math>
l_n(t)=\frac{1}{n!}e^{t/2}\frac{d^n}{d t^n}(e^{-t}t^n)
\quad (n=0,1,2, \dots)
</math>

を得る。{{math|&#123;''l<sub>n</sub>''(''t'')&#125;}} は[[ラゲール多項式]] {{math|''L<sub>n</sub>''(''t'')}} に {{math|e<sup>&minus;''t/2''</sup>}} を乗じた関数系である;

:<math>
l_n(t)=e^{-t/2}L_n(t) </math>

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}

== 参考文献 ==
* {{cite|和書 |author=[[藤田宏]] |author2=[[伊藤清三]] |author3=[[黒田成俊]] |title=関数解析（岩波基礎数学選書） |publisher=岩波書店 |year=1991 |ISBN=978-4000078108}}
* {{cite|和書 |author=[[吉田耕作]] |author2=[[河田敬義]] |author3=[[岩村聯]] |title=位相解析の基礎 |publisher=岩波書店 |year=1960 |ISBN=4000050257}}

== 関連項目 ==
* [[基底]] - [[正規直交基底]]
* [[関数解析]] - [[ヒルベルト空間]]
* [[フーリエ級数]]

{{Linear algebra}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:せいきちよつこうけい}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]