正軸体のソースを表示

[[ファイル:Square diamond (shape).svg|thumb|2次元正軸体（正方形）]]
[[ファイル:Octahedron.svg|thumb|3次元正軸体（正八面体）]]
[[ファイル:Cell16-4dpolytope.svg|thumb|4次元正軸体（正十六胞体）の[[投影図]]]]
{{出典の明記|date=2019年1月}}
'''正軸体'''（せいじくたい、cross-polytope）は、[[2次元]]の[[正方形]]、[[3次元]]の[[正八面体]]、[[4次元]]の[[正十六胞体]]を各次元に一般化した[[正多胞体]]。

なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は[[点 (数学)|点]]、1次元正軸体は[[線分]]となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。

'''<math>\beta</math>体'''（ベータたい）ともいい、''n'' 次元正軸体を <math>\beta_n</math> と書く。

[[正単体]]、[[超立方体]]（正測体）と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

==作図==
正軸体を作図するには、座標 <math>(\pm1,0,0,\cdots,0)</math> の[[巡回]]
{{Indent|<math>(\pm1,0,0,\cdots,0), (0,\pm1,0,\cdots,0), \cdots , (0,0,\cdots,0,\pm1)</math>}}
を[[頂点]]とし、最も近い（[[距離]] <math>\sqrt{2}</math> の）2点ずつを[[辺]]で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、''m'' + 1 (0 &le; m &le; ''n'' - 1) 点ずつが ''m'' 次元面を構成する。

なおこの作図は、超立方体
{{Indent|<math>(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1) </math>}}
の双対の作図と等価である。

またこうして作図された正軸体は、''n'' 次元[[ユークリッド空間]]を <math>\mathbb R^n </math> で表して
{{Indent|<math>\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_1 \le 1\}</math>}}
でも定義できる。

==性質==
特にことわらない限り、辺の長さが ''a'' の ''n'' (&ge; 2) 次元正軸体について述べる。

超体積は
{{Indent|<math> \frac{ \sqrt{2}^n }{ n! } a^n</math>}}
超表面積は
{{Indent|<math>\frac{ 2^n \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}</math>}}
である。

[[面 (幾何学)#ファセット|ファセット]]（''n'' - 1 次元面）は ''n'' - 1 次元[[正単体]]である。したがって一般に、 ''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 1) 次元面は ''m'' 次元正単体である。例えば正十六胞体（4次元正軸体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。また ''m'' 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、
{{Indent|<math>\frac{ \sqrt{m+1} }{ m! \sqrt{ 2^m } } a^m</math>}}
である。

[[対角線]]の長さは、作図法より <!-- 辺の長さa=√2、対角線が2なので -->
{{Indent|<math>\sqrt{2} a \,</math>}}
で、全て[[直交]]する。

''m'' (0 &le; ''m'' &le; ''n'' - 1) 次元面の個数は
{{Indent|<math>2^{m+1} {}_{n}\operatorname{C}_{m+1}</math>}}
である。これは{{仮リンク|パスカルのピラミッド|en|Pascal's pyramid}}の第 ''n'' + 1 段の三角形の第 ''m'' + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、<math>3^n = (1+2)^n</math> を二項展開し、<math>3^n = (1+1+1)^n</math> を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は <math>2n</math> 個、ファセットは <math>2^n</math> 個である。<math>{}_{n}\operatorname{C}_{m+1}</math> は[[パスカルの三角形]]の第 ''n'' + 1 段の ''m'' + 2 番目の数字であり、''n'' - 1 次元[[単体 (数学)|単体]]の ''m'' 次元面の個数である。

''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 2) 次元面の形状は ''n'' - ''m'' - 1 次元正軸体であり、そこに集まる''l'' (''m'' + 1 &le; l &le; ''n'' - 1) 次元面の個数は
{{Indent|<math>2^{l-m} {}_{n - m - 1}\operatorname{C}_{l - m}</math>}}
である。これはパスカルのピラミッドの第 ''n'' - ''m'' 段の三角形の第 ''l'' - ''m'' + 1 段の数字の総和に等しく、 ''n'' - ''m'' - 1 次元正軸体の ''l'' - ''m'' - 1 次元面の個数である。

双対は超立方体（正測体）である。

{{次元}}

{{DEFAULTSORT:せいしくたい}}
[[Category:正多胞体]]
[[Category:数学に関する記事]]