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'''歪エルミート行列'''（わいえるみーとぎょうれつ、{{lang-en|''Skew-Hermitian matrix''}}）あるいは'''反エルミート行列'''（はんえるみーとぎょうれつ、{{lang-en|''Anti-Hermitian matrix''}}）とは、自身の[[エルミート共役]]（＝随伴）が自身に負号をつけたものに等しいような[[複素数|複素]][[正方行列]]のことである。つまり、{{mvar|n}} 次[[正方行列]] {{mvar|A}} に対し、その[[随伴行列|エルミート共役]]を {{mvar|A{{sup|*}}}} で表すとき、{{mvar|A}} が歪エルミートならば、以下の条件を満たす。
:<math>A^* = -A </math>
行列 {{mvar|A}} の成分をあらわに書けば、これは次のようにも表せる。
:<math>{\left(A^*\right)}_{ij} = \overline{A_{ji}} = -A_{ij} \quad \left(1 \le i,j \le n\right)\ </math>
{{mvar|n}} 次歪エルミート行列の集合は[[リー代数]]をなし、<math> \mathfrak u(n) </math> と表される。

歪エルミート行列と似た定義を持つ行列として、[[エルミート行列]]がある。エルミート行列は自身と自身のエルミート共役が等しい。
:<math>H^* = H </math>

歪エルミート行列はエルミート行列と同じく、[[正規行列]]の特別な場合であり、{{math|&minus;1}} を[[ユニタリ行列]] {{mvar|U}} と見なせば、以下の正規行列の定義を満たしている。
:<math>A^* = AU </math>

== 例 ==
例として、次の行列は歪エルミート行列である。

:<math>\begin{bmatrix}0 & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{bmatrix}</math>

== 性質 ==
多くの点で歪エルミート行列はエルミート行列とちょうど反対の性質を持つ。

* 歪エルミート行列の成分を[[虚数単位]] {{mvar|i}} で除することにより[[エルミート行列]]にできる。すなわち歪エルミート行列 {{mvar|A}} に対して
::<math>A = iH</math>
:を満たす {{mvar|H}} はエルミート行列となる。実際、{{math|(''iH''){{sup|*}} {{=}} &minus;''iH{{sup|*}}''}} なので {{mvar|iH}} は歪エルミートである。同様に {{math|&minus;''iH''}} も歪エルミートである。従って、{{math|''A''/''i'' {{=}} &minus;''iA''}} および {{math|''A''/(&minus;''i'') {{=}} ''iA''}} はエルミートである。
* 歪エルミート行列 {{mvar|A}} の[[対角成分]]はすべて純虚数である。
:<math>{\left(A^*\right)}_{ii} = \overline{A_{ii}} = -A_{ii} \quad \left(1 \le i \le n\right)\ </math>
:従って、その[[跡 (線型代数学)|トレース]]も純虚数である。
* 歪エルミート行列 {{mvar|A}} の[[固有値]] {{mvar|&lambda;}} は {{math|0}} または純虚数である。固有値方程式 {{math|''A&xi;'' {{=}} ''&lambda;&xi;''}} を満たす行列 {{mvar|A}} の固有ベクトル {{mvar|&xi;}} について、{{math|''&xi;{{sup|*}}A&xi;'' {{=}} ''&lambda;&xi;{{sup|*}}&xi;''}} は以下の関係を満たす。
::<math>\xi^*A\xi = {(A^*\xi)}^*\xi = -{(A\xi)}^*\xi ~~\Longrightarrow~~ \lambda = -\bar\lambda </math>
:従って、{{math|&lambda;}} の実部は {{math|0}} でなければならない。またこのとき、歪エルミート行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは[[直交]]する。
::<math>\eta^*A\xi = \lambda_\xi\eta^*\xi = -\bar\lambda_\eta\eta^*\xi = \lambda_\eta\eta^*\xi
~~\Longrightarrow~~\eta^*\xi = 0 </math>
* 歪エルミート行列の実数倍と、歪エルミート行列の和はまた歪エルミートである。つまり、実数 {{mvar|&alpha;, &beta;,...}} と歪エルミート行列 {{mvar|A, B,...}} について次の関係が成り立つ。
::<math>\left(\alpha A + \beta B + \cdots\right)^* = \bar\alpha A^* + \bar\beta B^* + \dots = -\left(\alpha A + \beta B + \cdots\right) </math>
* 歪エルミート行列は[[正規行列]]であり、歪エルミート行列 {{mvar|A}} は、
::<math>AA^* = A^*A </math>
:を満たす。実際、{{math|''AA{{sup|*}}'' {{=}} ''A''(&minus;''A'') {{=}} (&minus;''A'')''A'' {{=}} ''A{{sup|*}}A''}} であり、{{mvar|A}} と {{mvar|A{{sup|*}}}} は[[交換関係 (量子力学)|可換]]である。
* 任意の正方行列 {{mvar|M}} はエルミート行列 {{mvar|H}} と歪エルミート行列 {{mvar|A}} の和として一意に表せる。
::<math>M = H + A </math>
:行列 {{math|''M'' + ''M{{sup|*}}''}} はエルミートであり、{{math|''M'' &minus; ''M{{sup|*}}''}} は歪エルミートであるので、これらを {{math|''H''/2}} および {{math|''A''/2}} と定義すれば上述の関係を得る。
* 歪エルミート行列の冪乗 {{mvar|A{{sup|p}}}} は、指数 {{mvar|p}} が奇数なら歪エルミート、偶数ならエルミートである。
::<math>{\left(A^p\right)}^* = {\left(A^*\right)}^p = {\left(-1\right)}^pA^p\! </math>
* {{mvar|A}} が歪エルミートならば[[行列指数関数]] {{math|e{{sup|''A''}}}} は[[ユニタリ行列]]になる。
::<math>{(\mathrm{e}^A)}^* = \mathrm{e}^{A^*} = \mathrm{e}^{-A} = {(\mathrm{e}^{A})}^{-1}\! </math>
:歪エルミート行列の固有値は {{math|0}} か純虚数なので、{{math|e{{sup|''A''}}}} の固有値の絶対値は {{math|1}} になる。

== 関連項目 ==
* [[随伴作用素]]（'''エルミート共役'''、[[随伴行列]]）
* [[自己共役作用素]]（[[エルミート行列]]）
* [[正規作用素]]（[[正規行列]]）
* [[ユニタリ作用素]]（[[ユニタリ行列]]）
* [[交代行列]]
* [[反対称性]]
* [[交換関係 (量子力学)]]

{{DEFAULTSORT:わいえるみときようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学のエポニム]]