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'''比較判定法'''（ひかくはんていほう、{{lang-en-short|comparison test}}）は、[[実数]]や[[複素数]]を[[項]]にもつ[[級数]]が、[[収束級数|収束]]するか[[発散級数|発散]]するかを判定する方法である。これは、判定の対象となる級数の項を、収束性が判明している級数の項と比較することによって、収束性を判断する。比較判定法には、2 つの種類が存在する。

== 第一種比較判定法 ==
第一種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

:<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>

が[[絶対収束]]し、''n'' に依存しない実数 ''C'' が存在して

:<math>|a_n|\le C|b_n|</math>

が十分大きい ''n'' に対して成立するならば、級数

:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>

は絶対収束する。このとき、''b'' が ''a'' を「抑える(dominate)」という。もし、級数 Σ|''b''<sub>''n''</sub>| が発散し、

:<math>|a_n|\ge |b_n|</math>

が十分大きい ''n'' に対して成立するならば、級数 Σ|''a''<sub>''n''</sub>| は絶対収束しない（ただし、例えば ''a''<sub>''n''</sub> の符号が交互に入れ替わるような場合は、[[条件収束]]することがある）。

== 第二種比較判定法 ==
第二種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

:<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>

が絶対収束し、''n'' に依存しない実数 ''C'' が存在して

:<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le C\,\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|</math>

が十分大きい ''n'' に対して成立するならば、級数

:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>

は絶対収束する。もし、級数 Σ|''b''<sub>''n''</sub>| が発散し、

:<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|</math>

が十分大きい ''n'' に対して成立するならば、級数 Σ|''a''<sub>''n''</sub>| は絶対収束しない（ただし、例えば ''a''<sub>''n''</sub> の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。

これは、[[ダランベールの収束判定法]]に基づくものである。

== 参考文献 ==
* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (&sect; 3.1) ISBN 0486601536

* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (&sect; 2.34) ISBN 0521588073

== 関連記事 ==
* [[収束半径]]

[[Category:解析学|ひかくはんていほう]]
[[Category:数学に関する記事|ひかくはんていほう]]

[[fr:Série convergente#Principe général : règles de comparaison]]