水平線のソースを表示

{{otheruses||日本のバンドback numberの楽曲|水平線 (back numberの曲)|[[透視投影#水平面|水平面]]と[[投影図#投影面|投影面]]が交差する線|透視投影#水平線}}[[画像:Nihonkai Suiheisen.jpg|thumb|200x200px|[[日本海]]の水平線]]
{{読み仮名|'''水平線'''|すいへいせん|{{lang-en-short|horizon}}}}は[[空]]と[[海]]の境にみえる[[線]]である<ref name=":0">"空と海面とが接して見える平らな線。" 以下より引用。{{Cite Kotobank|word=水平線|encyclopedia=デジタル大辞泉|hash=#E3.83.87.E3.82.B8.E3.82.BF.E3.83.AB.E5.A4.A7.E8.BE.9E.E6.B3.89|publisher=小学館|access-date=2025-01-04}}</ref>。

== 概要 ==
[[地球]]は球体であるため、[[海]]はその遠方が見切れ[[空]]と平らな線で接しているように見える。これが水平線である<ref name=":0" />（⇒ [[#定義と原理]]）。水平線に関する距離や角度は数学的に求められる（⇒ [[#尺度]]）。空と地面の境にみえる線は[[地平線]]と呼ばれる。これも水平線と同じ原理で発生している。

== 定義と原理 ==
[[ファイル:Horizon limit.png|thumb|200x200px|遠方の海面の見切れ]][[海]]は一見すると平らであるが、[[地球]]が球体であるため実際には遠くにいくほど下方向に曲がっている。一方で[[光]]は直進するため、高さをもった視点から海を見ると遠くの[[海面]]が中程度遠くの海面で見切れる（図参照）。それにより海が途切れ[[空]]と平らな線で接しているように見える<ref name=":0" />。これが水平線である。

== 尺度 ==
[[ファイル:Horizon metrics.png|サムネイル|水平線の尺度]]
水平線に関する[[距離]]や[[角度]]は数学的に求められる。

大気による光の屈折を無視する、つまり幾何的な水平線を考えたとき、地球の半径を <math>r</math> [m]、海面からの視点高を <math>h</math> [m] とすると各尺度に関して以下が成り立つ（図も参照）：
{| class="wikitable"
|+表. 水平線の尺度
!尺度
!式
!導出の要点
|-
|距離 <math>d</math> [m]
|<math>d = \sqrt{2rh+h^2}</math> <ref>"観測者の目の位置をB、水平線の位置をAとすると、線分ABが水平線までの距離 ... OAとBAは直交するので、三平方の定理が成り立ち ... AB = √(R+h)<sup>2</sup>-R<sup>2</sup>" 以下より引用。神戸新聞社. ''[http://www8.kobe-np.co.jp/nie/2024/03/post-2152.html 水平線までの距離の計算(数学 理科)]''. 神戸新聞NIE.</ref>
|<math>(r+h)^2 = r^2 + d^2</math>
|-
|中心角 <math>\phi</math> [rad]
|<math>\phi = \arccos{\frac{r}{r+h}}</math>
|∠視点-水平線-地球中心 = 90°
|-
|俯角 <math>\theta</math> [rad]
|<math>\theta = \arccos{\frac{r}{r+h}} </math>
|<math>90 - \theta = 90 - \phi</math>
|-
|弧長（[[大圏距離]]）<math>a</math> [m]
|<math>a = r \arccos{\frac{r}{r+h}} </math>
|<math>a = r \phi  = r \theta</math>
|}

=== 尺度の近似 ===
[[大円距離#地球半径|平均地球半径]]の近似値 <math>r = 6371,000</math> [m] を用いると多くのケースで視点高 <math>h</math> が十分に小さくなる（例: 人が空気を吸える高さ/~1万m）。そのため、距離 <math>d</math> は <math>d
\approx \sqrt{2rh}
\approx 3570\sqrt{h}</math> で近似できる<ref>"観測者の目の位置をB、水平線の位置をAとすると、線分ABが水平線までの距離 .. OAとBAは直交するので、三平方の定理が成り立ち、計算するとAB=√2Rh となります。" 以下より引用。{{Cite journal|author=壷井宏泰|year=2024|date=2024-03-22|title=理科の散歩道 - 967 水平線|url=http://www8.kobe-np.co.jp/nie/2024/03/28/%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E7%B7%9A%E3%81%BE%E3%81%A7%E3%81%AE%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E3%81%AE%E6%B8%AC%E3%82%8A%E6%96%B9%28%E7%90%86%E7%A7%91%29pdf.pdf|journal=神戸新聞|page=17}}</ref>。また俯角 <math>\theta</math> は <math>\cos{\theta} \approx \frac{r}{r} = 1</math> より <math>\theta \approx 0</math> となるため、<math>\theta = 0</math> 周りでの <math>\cos{\theta}</math> の二次近似 <math>\cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}</math> を用いると <math>1 - \frac{\theta^2}{2} = \frac{r}{r+h}</math> が成り立ち、これを変形すると <math>\theta
= \sqrt{2 - \frac{2r}{r+h}}
= \sqrt{\frac{2h}{r+h}}
\approx \sqrt{\frac{2h}{r}}</math> で近似できる。これを用いると弧長 <math>a</math> は <math>a
= r\theta
\approx r \sqrt{\frac{2h}{r}}
= \sqrt{2rh}
\approx 3570\sqrt{h} </math> となり、距離 <math>d</math> と同じ値で近似できる。

=== 尺度の数値例 ===
[[画像:Panorama Gemini 7.jpg|thumb|250px|right|上空から見る水平線]]
視点の高さに応じた尺度の数値例をいかに示す。
{| class="wikitable"
|+表. 視点高による尺度の変化
!視点高 [m]
!距離 [m]
!弧長 [m]
!俯角 [rad]
!相当する高さ
|-
|0
|0
|0
|0
|
|-
|1
|3,570
|3,570
|0.0005603
|
|-
|1.58
|4,487
|4,487
|0.0007043
|日本人17才女性平均身長
|-
|1.71
|4,668
|4,668
|0.0007327
|日本人17才男性平均身長
|-
|2
|5,048
|5,048
|0.0007924
|
|-
|10
|11,288
|11,288
|0.0017718
|
|-
|100
|35,696
|35,696
|0.0056028
|
|-
|634
|89,882
|89,876
|0.0141071
|[[東京スカイツリー]]頂点
|-
|1,000
|112,885
|112,873
|0.0177167
|
|-
|8,849
|335,905
|335,594
|0.0526753
|[[エベレスト]]山頂
|-
|10,000
|357,099
|356,726
|0.0559922
|旅客機巡航高度
|}
{{要出典範囲|[[1960年代]]にアメリカ空軍が計測したところによると、高度約9,150mの大型ジェット機からでは395kmとなっている。
理論上高度約9,150mからでは341kmが限界となるので、395kmとする数値は高度12,300m程度から測定されたものと見られる|date=2025年1月}}

== 脚注 ==

=== 注釈 ===
<references group="注"></references>

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

*

== 関連項目 ==
* [[水平]]
* [[地平線]]
* [[海]] - [[空]] - [[地]]
* [[平面]]
* [[事象の地平面]]
* [[透視投影#水平線]]

{{Geo-stub}}
{{デフォルトソート:すいへいせん}}
[[Category:地形]]