沈め込みのソースを表示

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[[数学]]において、'''沈め込み''' (submersion) とは、[[可微分多様体]]間の[[微分可能関数|可微分写像]]であって[[微分 (多様体)|微分]]がいたるところ[[全射]]であるもののことである。これは[[微分トポロジー]]において基本的な概念である。沈め込みの概念は[[はめ込み]]の概念の双対である。

== 定義 ==
''M'' と ''N'' を[[可微分多様体]]とし、''f'': ''M'' → ''N'' をそれらの間の[[微分可能関数|可微分写像]]とする。写像 ''f'' が点 ''p'' &isin; ''M'' において'''沈め込み'''であるとは、[[微分 (多様体)|微分]]

:<math>Df_p \colon T_p M \to T_{f(p)}N\,</math>

が[[全射]][[線型写像]]であることをいう<ref>{{harvnb|Crampin|Pirani|1994|page=243}}. {{harvnb|do Carmo|1994|page=185}}. {{harvnb|Frankel|1997|page=181}}. {{harvnb|Gallot|Hulin|Lafontaine|2004|page=12}}. {{harvnb|Kosinski|2007|page=27}}. {{harvnb|Lang|1999|page=27}}. {{harvnb|Sternberg|2012|page=378}}.</ref>。このとき ''p'' を写像 ''f'' の'''正則点''' (regular point) と呼び、そうでないとき[[臨界点 (数学)|臨界点]] (critical point) と呼ぶ。点 ''q'' ∈ ''N'' が ''f'' の'''正則値''' (regular value) であるとは、原像 ''f''<sup>&minus;1</sup>(''q'') のすべての点 ''p'' が正則点であることをいう。すべての点において沈め込みである可微分写像 ''f'' を'''沈め込み'''と呼ぶ。同じことであるが、''f'' が沈め込みであるとは、微分 ''Df''<sub>''p''</sub> の{{仮リンク|階数 (微分トポロジー)|label=階数|en|rank (differential topology)}}が全ての点で ''N'' の次元に等しいということである。

注意：「正則点」という用語を ''f'' の ''p'' における[[ヤコビ行列]]の[[階数 (線型代数学)|階数]]が最大でない点を記述するために用いる著者もいる<ref>{{harvnb|Arnold|Gusein-Zade|Varchenko|1985}}.</ref>。実際これは{{仮リンク|特異点論|en|singularity theory}}においてより有用な概念である。''M'' の次元が ''N'' の次元に等しいかより大きいならば、臨界点のこれら2つの概念は一致する。しかし、''M'' の次元が ''N'' の次元よりも小さければ、上の定義によればすべての点は臨界点である（微分は全射になり得ない）が、（dim ''M'' に等しければ）ヤコビ行列の階数はなお最大たりうる。上の定義は例えば[[サードの定理]]の定式化においてはより広く使われている。

== 例 ==

* 任意の射影 <math>\pi:\mathbb{R}^{m+n}\rightarrow\mathbb{R}^n\subset\mathbb{R}^{m+n}</math>

* [[局所微分同相写像|局所微分同相]]

*{{仮リンク|リーマンの沈め込み|en|Riemannian submersion}}

* 滑らかな[[ベクトル束]]あるいはより一般に滑らかな[[ファイブレーション]]への射影。微分の全射性は[[局所自明化]]の存在の必要条件である。

== 局所的な正規形 ==

''f'': ''M'' → ''N'' が ''p'' において沈め込みで ''f''(''p'') = ''q'' ∈ ''N'' とすれば、''M'' における ''p'' の[[開近傍]] ''U'' と ''N'' における ''q'' の開近傍 ''V'' と ''p'' における局所座標 (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''m''</sub>) と ''q'' における局所座標 (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''n''</sub>) が存在して、''f''(''U'') = ''V'' であり、かつこれらの局所座標における写像 ''f'' は標準的射影

: <math>f(x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}, \ldots, x_m) = (x_1, \ldots, x_n)</math>

となる。これから可微分写像 ''f'': ''M'' &rarr; ''N'' のもとでの正則値 ''q'' &isin; ''N'' の ''M'' における逆像全体 ''f''<sup>&minus;1</sup>(''q'') は空集合であるかまたは次元 dim ''M'' &minus; dim ''N'' の（連結ではないかもしれない）可微分多様体であることが従う。これは'''正則値定理''' (regular value theorem) （'''沈め込み定理''' (submersion theorem) とも呼ばれる）の内容である。とくに、写像 ''f'' が沈め込みであれば、すべての ''q'' ∈ ''N'' に対して結論が成り立つ。

== 位相多様体の沈め込み ==
沈め込みは一般の[[位相多様体]]に対してもうまく定義される<ref>{{harvnb|Lang|1999|page=27}}.</ref>。位相多様体の沈め込みは連続な全射 ''f'': ''M'' → ''N'' であってすべての ''p'' ∈ ''M'' に対して ''p'' における連続チャート ψ と ''f''(''p'') における連続チャート φ が存在して写像 ψ<sup>-1</sup> ∘ f ∘ φ が ''R''<sup>''m''</sup> から ''R''<sup>n</sup> への[[射影 (数学)|射影]]に等しいことである。ここで ''m'' = dim(''M'') ≥ ''n'' = dim(''N'') である。

== 関連項目 ==

*{{仮リンク|エーレスマンの補題|en|Ehresmann's fibration theorem}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book|ref=harv|first1=V. I.|last1=Arnold|authorlink1=Vladimir Arnold|first2=S. M.|last2=Gusein-Zade|authorlink2=Sabir Gusein-Zade|first3=A. N.|last3=Varchenko|authorlink3=Alexander Varchenko|title=Singularities of Differentiable Maps: Volume 1|publisher=Birkhäuser|year=1985|ISBN=0-8176-3187-9}}
*{{Citation|first=J. W.|last=Bruce|first2=P. J.|last2=Giblin|title=Curves and Singularities|publisher=Cambridge University Press|year=1984|ISBN=0-521-42999-4}}
* {{cite book|ref=harv|last1=Crampin|first1=Michael|last2=Pirani|first2=Felix Arnold Edward|title=Applicable differential geometry|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|year=1994|isbn=978-0-521-23190-9}}
*{{cite book|ref=harv|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo |authorlink=Manfredo do Carmo | year = 1994|isbn=978-0-8176-3490-2}}
* {{cite book|ref=harv|last=Frankel|first=Theodore|title=The Geometry of Physics|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-38753-1}}
* {{Cite book|ref=harv | last1=Gallot | first1=Sylvestre | last2=Hulin | first2=Dominique | last3=Lafontaine | first3=Jacques | title=Riemannian Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-3-540-20493-0 | year=2004}}
*{{cite book|ref=harv|last=Kosinski|first=Antoni Albert|year=2007|origyear=1993|title=Differential manifolds|location=Mineola, New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-46244-8}}
*{{Cite book|ref=harv | isbn = 978-0-387-98593-0 | title = Fundamentals of Differential Geometry | last1 = Lang | first1 = Serge |authorlink1=Serge Lang|publisher=Springer|location=New York| year = 1999 | series = Graduate Texts in Mathematics}}
* {{cite book|ref=harv|last1=Sternberg|first1=Shlomo Zvi|authorlink1=Shlomo Sternberg|year=2012|title=Curvature in Mathematics and Physics|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0-486-47855-5}}

{{DEFAULTSORT:しすめこみ}}
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[[Category:滑らかな関数]]
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