波動方程式のソースを表示

'''波動方程式'''（はどうほうていしき、{{lang-en-short|wave equation}}）とは、次の式で表される[[定数係数]]二階線形[[偏微分方程式]]のことである<ref>[[波動方程式#大石 (1989) |大石 (1989)]] p. 126</ref>。

:<math>\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u</math>

波動方程式は[[音波]]、水面の波紋、[[電磁波]]などの様々な[[振動]]・波動現象を記述する際に基本となる方程式である。{{mvar|s}} は波動の[[位相速度]] ([[:en:phase velocity|phase velocity]]) を表す係数である。

== 概要 ==
3次元の場合、[[時刻]] {{mvar|t}} における各位置の振動の変位を表す関数を {{mvar|u}}、振動の位相速度を {{mvar|s}} とすると、{{mvar|u}} は波動方程式
:<math>\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} </math>
を満たす。<ref group="注">[[ラプラス作用素]] <math>\Delta \equiv \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}</math> を用いて

:<math>\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Delta u</math>
と記述される場合も多い。さらに[[ダランベール演算子]]
:<math> \square_s \equiv \Delta - {1 \over s^2} {\partial^2 \over {\partial t^2}} </math>
を用いて

:<math> \square_s u = 0 </math>
と記述されることもある。</ref>。

なお、記述される波動現象によって {{mvar|u}} の座標変数は変わってくるため、それに伴い波動方程式の形状も異なってくる。
*1次元の波動方程式（主な現象：弦の振動<ref name="#1">[[#恒藤 (1983)|恒藤 (1983)]]</ref>）
:<math>\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} </math>
*2次元の波動方程式（主な現象：膜の振動<ref name="#1"/>）
:<math>\frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} </math>

振動・波動現象と呼ばれるものは一般に[[弦 (楽器)|弦]]、[[膜]]、[[空気]]、[[水]]など[[媒質]]の振動現象を指し主に[[流体力学]]、[[弾性|弾性体力学]]の扱うところである。ただし、例外として電磁波は、媒質の振動現象と同じく波動方程式で記述されるが、媒質が存在せず<ref group="注">物質として媒質が存在しないという意味で、電磁場が媒介する。電磁的な方程式は任意の慣性系で不変なため、別の慣性系に移行するときに通常の物質を媒介する波とは異なる挙動を見る。</ref>、正確に取り扱うには[[特殊相対性理論]]を考慮された電磁気学の議論が必要である。

== 波動方程式の解法 ==
* [[ダランベールの式]]（1次元のみ）
* [[変数分離法]]

== 関連項目 ==
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[ポアソン方程式]]
* [[ラプラス方程式]]
* [[電信方程式]]
* [[拡散方程式]]
* {{仮リンク|サイン-ゴルドン方程式|en|Sine-Gordon equation}}
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* [[流体力学]]
* [[フーリエ変換]]
* [[ラプラス変換]]
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{{col-end}}

=== 関連人物 ===
* [[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]
* [[ピエール＝シモン・ラプラス]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book | 和書 | author=恒藤敏彦 | title=弾性体と流体 | series= 物理入門コース 8 | year=1983 | publisher=[[岩波書店]] | isbn=4000076485 | ref=恒藤 (1983) }}
* {{Cite book | 和書 | author=際本泰士 | title=振動・波動論講義―物理実験を取り入れて | year=2005 | publisher=コロナ社 | isbn=4339066095 | ref=際本 (2005) }}
* {{Cite book | 和書 | author=大石進一|authorlink=大石進一 | title=フーリエ解析 | series=理工系の数学入門コース 6 | publisher=[[岩波書店]] | year=1989 | isbn=4000077767 | ref=大石 (1989) }}

{{commonscat|Wave equation}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:はとうほうていしき}}
[[Category:双曲型偏微分方程式]]
[[Category:振動と波動]]
[[Category:物理学の方程式]]
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