波数ベクトルのソースを表示

[[物理学]]における'''波数ベクトル'''とは、[[波動]]を記述するのに用いられる[[空間ベクトル|ベクトル]]である。
全てのベクトルのように[[空間ベクトル|大きさと方向]]を持ち、これら両方が重要である。
その大きさは波の[[波数]]または[[角波数]]であり、[[波長]]に反比例する。
その方向は通常、{{ill2|波動の伝播|en|Wave propagation}}の方向であるが、いつもそうとは限らない（以下を参照）。

[[特殊相対論]]の文脈では、波数ベクトルは[[4元ベクトル]]としても定義できる。

==定義==
[[File:Sine wavelength.svg|thumb|right|サイン波の波長''λ''は図に示されるように、隣り合った頂点または谷または隣り合ったゼロ交差のような同じ[[位相]]をもつ2つの点の間で測ることができる。]] 
波数ベクトルには2つの一般的な定義があり、大きさが因子2πだけ異なる。
1つ目の定義は[[物理学]]などで用いられ、もう一つの定義は[[結晶学]]などで用いられる。
<ref>Physics definition example:{{cite book| url=https://books.google.com/books?id=c60mCxGRMR8C&pg=PA288 | title= Handbook of Physics| author= Harris, Benenson, Stocker|page=288| isbn=978-0-387-95269-7| year=2002}}.Crystallography definition example: {{cite book| url=https://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259 | title=Modern Crystallography |author=Va?nshte?n| page=259| isbn=978-3-540-56558-1| year=1994}}</ref> 
この記事ではそれらを「物理学の定義」と「結晶学の定義」とそれぞれ呼ぶ。

===物理学の定義===
理想的な1次元の進行波は次の方程式に従う。
:<math>\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)</math>
ここで、
*''x''は位置。
*''t''は時間。
*<math>\psi</math> (''x''と''t''の関数)は波を記述する攪乱（たとえば[[海洋波]]における<math>\psi</math>は水の高さであり、[[音波]]における<math>\psi</math>は[[空気圧]]である）。
*''A''は波の[[振幅]]。
*<math>\varphi</math>は「[[位相角]]」で、2つの波がお互いにどれだけ同期していないかを記述する。
*<math>\omega</math>は波の時間的な[[角周波数]]で、単位時間あたりどれだけ沢山の振動が完了するかを記述する。[[周期]]<math>T</math>と方程式<math>\omega=2\pi/T</math>によって関連している。
*<math>k</math>は波の空間的な角周波数（[[波数]]）であり、単位空間あたりどれだけ沢山の振動が完了するかを記述する。[[波長]]と式<math>k=2\pi/\lambda</math>によって関連している。

この波動は+xの方向に速度（より正確には[[位相速度]]）<math>\omega/k</math>で進行する。

===結晶学の定義===
[[結晶学]]において、同じ波動はわずかに異なる方程式を用いて記述される。
<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=xjIGV_hPiysC&pg=PA259|title= Modern Crystallography| page=259 |isbn=978-3-540-56558-1 |last=Va?nshte?n|first=Boris Konstantinovich |year=1994}}</ref> 
1次元と3次元ではそれぞれ、
:<math>\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)</math>
:<math>\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)</math>
違いは、
*角周波数<math>\omega</math>の代わりに周波数<math>\nu</math>が用いられる。これらは<math>2\pi \nu=\omega</math>の関係にある。この記事においてこの置き換えは重要ではないが、結晶学の一般的慣習を反映している。
*波数''k''と波数ベクトル'''k'''は異なる方法で定義される。上述の物理学の定義では<math>k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda</math>であるが、一方ここでは<math>k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda</math>である。
'''k'''の方向は以下で議論する。

==波数ベクトルの方向==
{{main|群速度}}
波数ベクトルが指す方向は「波動の伝播の方向」とは区別しなければならない。
「波動の伝播の方向」は波動のエネルギー流れの方向であり、小さな[[波束]]が動く方向、つまり[[群速度]]の方向である。
光波では、これは[[ポインティングベクトル]]の方向でもある。
一方で波数ベクトルは[[位相速度]]の方向を指す。
言い換えれば波数ベクトルは、定位相の面（波面とも呼ばれる）の[[法線]]方向を指す。

無損失[[等方性媒質]](空気や全ての気体、[[ガラス]]のようないくつかの固体など)において、波数ベクトルの方向は波動の伝播の方向と全く同じである。
媒質の損失が大きい場合、一般的に波数ベクトルは波動の伝播の方向以外の方向を指す。
波数ベクトルが波動が伝播する方向と同じである条件は、波動が均一であることであり、媒質の損失が大きいときは必ずしもそうとは限らない。
均一な波動において定位相の面は、一定振幅の面でもある。
不均一な波動では、これら2つの種類の面は方向が異なる。
波数ベクトルは常に一定位相の面と垂直である。

例えば、[[結晶光学|非対称結晶中の光波]]や[[堆積岩]]中の音波のように、波動が[[異方性媒質]]中を進行するとき、波数ベクトルは波動伝播の方向を必ずしも指すわけではない。
<ref name=fowles>{{cite book|last=Fowles|first=Grant|title=Introduction to modern optics|year=1968|publisher=Holt, Rinehart, and Winston|page=177}}</ref>
<ref name=pollard>"This effect has been explained by Musgrave (1959) who has shown that the energy of an elastic wave in an anisotropic medium will not, in general, travel along the same path as the normal to the plane wavefront...", ''Sound waves in solids'' by Pollard, 1977. [https://books.google.com/books?id=EOUNAQAAIAAJ link]</ref>

==固体物理学==
{{main|ブロッホ波}}
[[固体物理学]]において、[[結晶]]中の[[電子]]や[[正孔]]の「波数ベクトル」（k-ベクトルとも呼ばれる）は、その[[量子力学]]的な[[波動関数]]の波数ベクトルである。
それらの電子波は、通常のサイン波ではなく、サイン波である一種の「{{ill2|包絡波|en|Envelope (waves)|label=包絡関数}}」を持ち、波数ベクトルは通常「物理学の定義」を用いてその包絡波を用いて定義される。
詳細は[[ブロッホ波]]を参照。
<ref>{{cite book |author=Donald H. Menzel |title=Fundamental Formulas of Physics, Volume 2 |url=https://books.google.com/books?id=-miofZvrH2sC&pg=PA624 |page=624 |chapter=§10.5 Bloch waves |isbn=0486605965 |year=1960 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1955 2nd |publisher=Courier-Dover }}</ref>

== 関連項目 ==
*[[平面波展開]]
*[[入射面]]
* [[逆格子ベクトル]]、[[逆格子空間]]

==引用==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book | author=Brau, Charles A. | title=Modern Problems in Classical Electrodynamics | publisher=Oxford University Press | year=2004 | isbn=0-19-514665-4}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:はすうへくとる}}
[[Category:物理学]]
[[Category:ベクトル]]