流れ関数のソースを表示

'''流れ関数'''（ながれかんすう）または'''流れの関数'''<ref>{{cite|和書|author=今井功|title=流体力学|publisher=裳華房|year=1997|edition=24|isbn=4-7853-2314-0|page=108}}</ref><ref>{{cite|和書|author=巽友正|title=流体力学|publisher=培風館|year=1982|isbn=4-563-02421-X|page=53}}</ref>とは、2次元の[[非圧縮性流れ|非圧縮]]の流れ場に対し、勾配によって流束値を与える関係である。

文字 &Psi; で表すことが多い。つぎのように定義される。
:<math>u=\frac{\partial \Psi}{\partial y},\quad v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}</math>
ここで''x'' , ''y'' は2次元直交座標、''u'' , ''v'' はそれぞれ''x'' , ''y'' 方向の速度成分である。このときの速度場は[[連続の式]]を満たす。

==性質==
流れの中に任意に2点A, Bを選んだとき、各点の流れの関数の差は、2点を結ぶ曲線を横切る流量に等しい（この流量は2点A, Bのみに依存し、曲線の選び方によらない）。
:<math>\Psi(B)-\Psi(A)=\int_A^B v_n ds</math>
ここで ''ds'' は曲線の線要素長、''v<sub>n</sub>'' は速度の要素直交成分である。

特に、1本の[[流線]]上の任意の2点について上式右辺は0であるため、&Psi; = const. は流線を表す。

流れの領域の中に[[吸い込み]]、湧き出しが存在する場合、流れの関数は[[多価関数]]となる。

==派生する関数==
===ストークスの流れ関数===
ストークスの流れ関数は軸対称流に対する類似した概念である。対称軸を''x'' 軸とし、''x'' 軸からの距離を''y'' で、それぞれの流速を''u'' , ''v'' で表すと、ストークスの流れ関数は以下の関係を満たす。
:<math>u=\frac{1}{y}\frac{\partial \Psi}{\partial y},\quad v=-\frac{1}{y}\frac{\partial \Psi}{\partial x}</math>

===圧縮性流れ===
[[圧縮性流れ]]に対しても流れ関数は定義できる。密度を&rho;とすると、流れ関数は以下の関係を満たす。
:<math>\rho u=\frac{\partial \Psi}{\partial y},\quad \rho v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}</math>

==脚注==
{{reflist}}

==関連項目==
*[[渦度・流れ関数法]]
*[[複素速度ポテンシャル]]

{{デフォルトソート:なかれかんすう}}
[[Category:流体力学]]