淡中・クライン双対性のソースを表示

{{Refimprove|date=October 2017}}
{{更新|date=2024年7月}}{{Uncategorized|date=2024年3月}}
'''淡中・クライン双対性'''（たんなか・クラインそうついせい、Tannaka–Krein_duality）の理論は[[数学]]において、[[コンパクト群|コンパクト]]の相互作用に関するもの、[[位相群]]とその[[圏 (数学)]] の[[線形表現]]の相互作用に関するものである。 

コンパクト群と離散[[可換]]位相群の間の[[ポントリャーギン双対]]を、コンパクトだが[[非可換]]な群に自然に拡張したものである。 

== 解説 ==
この理論は[[淡中忠郎]]と[[マルク・クレイン]]にちなんで命名された。 [[レフ・ポントリャーギン]]が考えた可換群の場合とは対照的に、非可換[[コンパクト群]]の双対概念は群ではなく、''G''の有限次元表現によって形成される、何らかの付加的な構造を持つ[[表現の圏]]Π(''G'')である。

淡中とクラインの双対性定理は、Π(''G'')の圏から群''G''への逆行列を記述し、その表現の圏から群を回復することを可能にする。 さらに、彼らは、この方法で群から生じうるすべてのカテゴリーを完全に特徴づけている。 後に[[アレクサンドル・グロタンディーク]]は、同様のプロセスによって、淡中の双対性が[[Tannakian formalism]]を介して[[代数群]]の場合に拡張できることを示した。 一方、淡中とクラインの理論は[[数理物理学|数理物理学者]]によって発展・改良され続けた。淡中-クライン理論の一般化は[[量子群]]の表現を研究するための自然な枠組みを提供し、現在では量子[[超群（物理学）|超群]]、[[量子亜群]]、およびそれらの双対[[ホップ環状体]]に拡張されている。

== 淡中・クラインの双対性の考え方：群の表現のなす圏 ==
[[局所コンパクト]]な可換群に対するポントリャーギンの双対性理論では、群''G''の双対対象はその[[指標群]] <math>\hat{G},</math>であり、一次元の[[単位表現]]からなる。 群''G''が非可換であることを許すならば、指標群の最も直接的な類似は[[既約表現]]の[[同値類]]の[[集合(数学)|集合]]である。''G''の[[ユニタリー表現]]の[[同値類]]の集合である。指標の積の類似は[[表現のテンソル積]]である。しかし、''G''の既約表現は一般に群やモノイドを形成することができない。すべての有限次元表現の集合<math>\Pi(G)</math>を考え、それを[[モノイダル圏]]として扱う必要があることがわかった。

圏<math>\Pi(G)</math>の'''表現'''とは、恒等[[関手]]からそれ自身への[[自然変換]]たちのことである。 言い換えると、任意の<math>T \in \operatorname{Ob}\Pi(G)</math> に対して、テンソル積との両立条件<math>\varphi(T\otimes U)=\varphi(T)\otimes\varphi(U)</math>と任意の表現の射<math>f\colon T\to U</math>,すなわち, <math>f\circ \varphi(T) = \varphi(U) \circ f</math>との両立条件を満たす非ゼロ関数<math>\varphi</math>のことである。  

圏<math>\Pi(G)</math>の全表現の集まり<math>\Gamma( \Pi(G))</math> は乗法<math>\varphi(T)= \varphi(T) \psi(T)</math> と各点収束位相で位相が入る。各点収束位相とはつまり <math>\{\varphi_a\}</math> がある <math>\varphi</math> に収束することと、任意の<math>T \in \operatorname{Ob}\Pi(G)</math>に対して <math>\{\varphi_a(T)\}</math> が <math>\varphi(T)</math> に収束することが同値になるということである. こうして集合<math>\Gamma( \Pi(G))</math> がコンパクトな（位相的な）群になることが示される。 

== 淡中とクラインの定理 ==
{{翻訳直後|"Tannaka–Krein duality"（2024/2/25/1:11）|date=2024年10月}}
'''淡中の定理''' は、表現圏 Π(''G'') から [[コンパクト群]] ''G'' を再構成する方法を提供する。

''G'' をコンパクトなグループとし、F: Π(''G'') → Vect<sub>'''C'''</sub> を[[忘却関手]] とする。''G'' の有限次元 [[複素数]] 表現から複素数 [[次元 (ベクトル空間)|有限次元]] [[ベクトル空間]] へ。 [[自然変換]] τ: F → F にトポロジーを配置する。これは、それぞれが <math>\tau \mapsto \tau_V</math> によって与えられる投影の End(''F'') → End(''V'') (自然変換 <math>\tau</math> をとります) そのコンポーネント <math>\tau_V</math> at <math>V \in \Pi(G)</math>) は [[連続関数 (トポロジー)|連続関数]] です。 自然変換が ''G'' の自明な表現上の恒等写像であり、 <math>\tau_{V \otimes W} = \tau_V \otimes \tau_W</math> という意味でテンソル積を保存する場合、自然変換は テンソル保存 であると言う。 また、<math>\overline{\tau} = \tau</math> の場合、τ は 自己共役 であるとも言う。ここで、バーは複素共役を示す。 この場合、F のすべてのテンソル保存自己共役自然変換の集合 <math>\mathcal{T}(G)</math> は End(F) の閉じた部分集合になる。 ''G'' が (コンパクトな) グループである場合、実際には (コンパクトな) グループになる。 ''G'' のすべての要素 x は、各表現で x による乗算を介してテンソルを保存する自己共役の自然変換を生じさせるため、マップ <math>G \to \mathcal{T}(G)</math> を持つ。 淡中の定理は、この写像が同型写像であることを示す。

「クラインの定理」は、どのカテゴリーがコンパクトな群に対する双対目的として生じ得るか、という問いに答える。

Π を、テンソル積とインボリューションの演算を備えた有限次元ベクトル空間の圏とする。 Π がコンパクト群 ''G'' に対して双対目的体であるためには、次の条件が必要かつ十分である。
: 1. Π のすべてのオブジェクト ''A'' に対して <math>I\otimes A \approx A</math> というプロパティを持つオブジェクト <math>I</math> が存在する (これは必然的に一意になる) 同型写像に）。
: 2. Π のすべてのオブジェクト ''A'' は、最小オブジェクトの合計に分解できます。
: 3. ''A'' と ''B'' が 2 つの極小オブジェクトである場合、準同型写像の空間 Hom<sub>Π</sub>(''A'', ''B'') は次のいずれかになります。 次元 (同型の場合)、またはゼロに等しい。

これらの条件がすべて満たされる場合、圏 Π = Π(''G'') になる。ここで、''G'' は Π の表現のグループである。

== 一般化 ==
1980年代に[[ドリンフェルド]]と[[神保道夫]]の研究で[[量子群]]が発見され、淡中-クラインの双対性理論への関心が再び高まった。 量子群の研究への主なアプローチの1つは，[[対称モノイダル圏]]Π(''G'')に似た圏を形成する有限次元表現を通して進められるが，より一般的な型の[[braided monoidal category]]である． この場合にも淡中・クライン型の優れた双対理論が存在することが判明し，量子群とその表現の両方を研究できる自然な設定を提供することによって，量子群の理論において重要な役割を果たします。 その後まもなく，[[有理共形場理論]]において，braided monoidal categoryのさまざまな例が発見された。 淡中・クラインの哲学は、共形場理論から生じるbraided monoidal categoryも量子群から得られることを示唆し、KazhdanとLusztigは一連の論文で、実際にそうであることを証明した。  一方、レシェティキンとトゥラーエフによって、ある種の量子群から生じるbraided monoidal categoryが、結び目の新しい不変量の構築に応用された。
==ドプリチャー・ロバートの定理==
'''doplicher-roberts theorem'''<!--boldface per wp:R#PLA-->（[[セルジオ・ドプリッヒャー]]と[[ジョン・E・ロバーツ]]による）は[[圏論]]の観点からRep(''G'')を特徴付けるものであり、[[ヒルベルト空間]]の圏の[[部分圏]]の一種である。<ref>{{cite journal |first=S. |last=Doplicher |first2=J. |last2=Roberts |title=A new duality theory for compact groups |journal=[[Inventiones Mathematicae]] |volume=98 |issue=1 |pages=157–218 |year=1989 |doi=10.1007/BF01388849 |bibcode=1989InMat..98..157D }}</ref>


このようなヒルベルト空間上のコンパクト群ユニタリー表現の部分圏は次の通りである：
#共役を持つストリクト対称モノイダルC*-圏
# [[モノイダル単位]]の内同型のC*代数がスカラーだけを含むような[[部分対象]]と[[直和]]を持つ部分圏。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
{{No footnotes|section=1|date=2024年3月18日 (月) 07:54 (UTC)}}
{{refbegin}}
*{{cite journal|last=Durkdević|first=Mićok|date=December 1996|title=Quantum principal bundles and Tannaka-Krein duality theory|url=|journal=Reports on Mathematical Physics|volume=38|issue=3|pages=313–324|arxiv=q-alg/9507018|bibcode=1996RpMP...38..313K|doi=10.1016/S0034-4877(97)84884-7|citeseerx=10.1.1.269.3027}}
*{{cite journal|last=Van Daele|first=Alfons|date=2000|title=Quantum groups with invariant integrals|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=97|issue=2|pages=541–6|bibcode=2000PNAS...97..541V|doi=10.1073/pnas.97.2.541|jstor=121658|pmc=33963|pmid=10639115|doi-access=free}}
* {{Citation|title=Category Theory|last1=Joyal|first1=A.|last2=Street|first2=R.|year=1991|publisher=Springer|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1488|chapter=An introduction to Tannaka duality and quantum groups|chapter-url=http://www.maths.mq.edu.au/~street/CT90Como.pdf|isbn=978-3-540-46435-8|doi=10.1007/BFb0084235}}
{{refend}}

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[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]