深さ (環論)のソースを表示

[[可換環論|可換]]および[[ホモロジー代数|ホモロジー]]代数において、'''深さ'''、'''深度''' (depth) は[[環 (数学)|環]]と[[環上の加群|加群]]の重要な[[不変量]]である。深さはより一般に定義できるが、考察される最も一般的なケースは可換[[ネーター環|ネーター]][[局所環]]上の加群のケースである。この場合、加群の深さは{{仮リンク|Auslander-Buchsbaum の公式|en|Auslander–Buchsbaum formula}}によってその[[射影次元]]と関係する。深さのより初等的な性質は不等式

: <math> \mathrm{depth}(M) \leq \dim(M), </math>

である、ただし dim ''M'' は加群 ''M'' の[[クルル次元]]を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えば[[コーエン-マコーレー環]]と加群で、これは等号が成り立つ。

== 定義 ==
''R'' を可換ネーター環、''I'' を ''R'' のイデアル、''M'' を ''IM'' が ''M'' に真に含まれるという性質をもつ[[有限生成加群|有限]] ''R''-加群とする。このとき ''M'' の ''I''-'''深度''' (''I''-depth) は、 ''M'' の '''grade''' とも呼ばれるが、

: <math> \mathrm{depth}_I(M) = \min \{i: \operatorname{Ext}^i(R/I,M)\ne 0\} </math>

と定義される。定義によって、環 ''R'' の深度は自身の上の加群としてのその深度である。

[[:en:David Rees (mathematician)|David Rees]] による定理によって、深度は[[正則列]]の概念を用いて特徴づけることもできる。

=== 定理 (Rees) ===

''R'' を可換ネーター[[局所環]]でその極大[[イデアル]]を <math>\mathfrak{m}</math> とし、''M'' を有限生成 ''R''-加群とする。このとき ''M'' のすべての極大[[正則列]] ''x''<sub>''1''</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>、ただし各 ''x''<sub>''i''</sub> は <math>\mathfrak{m}</math> に属する、は ''M'' の <math>\mathfrak{m}</math>-深度と同じ長さ ''n'' をもつ。

== 深さと射影次元 ==

可換ネーター局所環上の加群の[[射影次元]]と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。''R'' を可換ネーター[[局所環]]でその極大イデアルを <math>\mathfrak{m}</math> とし、''M'' を有限生成 ''R''-加群とする。''M'' の射影次元が有限であれば、[[:en:Auslander%E2%80%93Buchsbaum_formula|Auslander–Buchsbaum の公式]]が述べているのは

: <math> \mathrm{pd}_R(M) + \mathrm{depth}(M) = \mathrm{depth}(R).</math>

== 深さ0の環 ==

可換ネーター局所環 ''R'' が深さ 0 をもつこととその極大イデアル <math>\mathfrak{m}</math> が[[随伴素因子|素因子]]であることと同値である。あるいは同じことだが、''R'' の 0 でない元 ''x'' が存在して <math>x\mathfrak{m}=0</math> （すなわち ''x'' は <math>\mathfrak{m}</math> を零化する）。これが意味するのは、本質的に、閉点が{{仮リンク|埋め込まれた成分|en|embedded component (algebraic geometry)}}であるということだ。

例えば、環 <math>k[x,y]/(x^2,xy)</math> （ただし ''k'' は体）は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 (<math>x=0</math>) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これは[[コーエン・マコーレー環|コーエン・マコーレー]]でない環の例を与える。

== 参考文献 ==
* {{Citation
| last=Eisenbud
| first=David
| author-link=David Eisenbud
| title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=Berlin, New York
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| isbn=978-0-387-94269-8
| mr=1322960
| year=1995
| volume=150
}}
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, ''Cohen–Macaulay rings''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp.&nbsp;ISBN 0-521-41068-1

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