混合モデルのソースを表示

{{distinguish|{{ill2|混合分布モデル|en|Mixture model}}|x1=英語で{{lang|en|mixture model}}と呼ばれる}}
{{Expand English|Mixed model|date=2024年5月}}
'''混合モデル'''（こんごうモデル、{{Lang-en-short|mixed model}}）とは、[[固定効果]]（fixed effect）と[[変量効果]]（random effect）を共に含む（ゆえに'''混合効果'''と呼ばれる）統計学的モデルであり、医学・生物学・社会科学等の広い領域に用いられる。特に[[縦断研究]]においてある項目を繰り返し観察する{{仮リンク|反復測定デザイン|en|Repeated measures design}}等で有用である。[[欠測データ]]の取り扱いに優れ、混合効果モデルは多くの場合、反復測定分散分析等の伝統的なアプローチよりも望ましい。

==歴史と現状==
1918年、[[ロナルド・フィッシャー]]が関連する項目間の特性を[[変量効果モデル]]として導き出した事に由来する<ref>{{cite journal| last=Fisher | first=RA | title=The correlation between relatives on the supposition of Mendelian inheritance | journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh | year=1918 | volume=52 | pages=399&ndash;433 | doi=10.1017/S0080456800012163 | issue=2}}</ref>。1950年代、[[チャールズ・ヘンダーソン]]が固定効果モデルである[[ガウス＝マルコフの定理|最良線形不偏推定量]]（BLUE）および変量効果モデルである{{仮リンク|最良線形不偏予測量|en|Best linear unbiased prediction}}（BLUP）を規定した<ref name=GKR1991>{{cite journal | last=Robinson | first=G.K. | title=That BLUP is a Good Thing: The Estimation of Random Effects | journal=Statistical Science | volume=6 | issue=1 | year=1991 | pages=15&ndash;32 | jstor=2245695 | doi=10.1214/ss/1177011926}}</ref><ref>{{cite journal | title = The Estimation of Environmental and Genetic Trends from Records Subject to Culling | journal = Biometrics | volume = 15 | year = 1959 |pages = 192&ndash;218 | jstor=2527669 | author = C. R. Henderson, Oscar Kempthorne, S. R. Searle and C. M. von Krosigk | doi = 10.2307/2527669 | issue = 2 | publisher = International Biometric Society}}</ref><ref name=LDVV1989>{{cite web | url = http://books.nap.edu/html/biomems/chenderson.pdf | title = Charles Roy Henderson, April 1, 1911 – March 14, 1989 | author = L. Dale Van Vleck | publisher = [[United States National Academy of Sciences]] | accessdate=（英語版より翻訳のため不明）}}</ref><ref>{{cite journal | last=McLean | first=Robert A. |author2=Sanders, William L. |author3=Stroup, Walter W.  | title= A Unified Approach to Mixed Linear Models | journal=The American Statistician | year=1991 | volume=45 | pages=54&ndash;64 | jstor=2685241 | doi=10.2307/2685241 | issue=1 | publisher=American Statistical Association}}</ref>。

その後、混合モデルは[[最尤法|最尤推定量]]、非線形混合効果モデル、欠測のあるモデル、混合効果モデルの[[ベイズ推定|ベイズ推定量]]の計算等に用いられるようになった。混合モデルは各測定点での値が相互に影響し合うケースに用いられ、現在ではヒトに対する臨床試験や動物実験で汎用されているほか、{{要出典範囲|date=2014年9月|工業統計においても使用されている}}。

==定義==
[[行列]]を用いて以下の様に記述する。

:<math>\boldsymbol{y} = X \boldsymbol{\beta} + Z \boldsymbol{u} + \boldsymbol{\epsilon}</math>

ここで、
*<math>\boldsymbol{y}</math> は既知の測定値ベクトルであり、その平均は <math>E(\boldsymbol{y}) = X \boldsymbol{\beta}</math> である。
*<math>\boldsymbol{\beta}</math> は固定効果の未知ベクトルである。
*<math>\boldsymbol{u}</math> は変量効果の未知ベクトルであり、その平均は <math>E(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}</math> で、分散共分散行列は <math>\operatorname{var}(\boldsymbol{u})=G</math> である。
*<math>\boldsymbol{\epsilon}</math> は[[誤差#測定誤差|測定誤差]]の未知ベクトルであり、その平均は <math>E(\boldsymbol{\epsilon})=\boldsymbol{0}</math> で、分散は <math>\operatorname{var}(\boldsymbol{\epsilon})=R</math> である。
*<math>X</math> ならびに <math>Z</math> は各々、<math>\boldsymbol{y}</math> から <math>\boldsymbol{\beta}</math> ならびに <math>\boldsymbol{u}</math> の測定値に関する既知の[[計画行列]]である。

==推定==
<math>\boldsymbol{y}</math> と <math>\boldsymbol{u}</math> の結合密度関数は次の様に書ける: <math>f(\boldsymbol{y},\boldsymbol{u}) = f(\boldsymbol{y} | \boldsymbol{u}) \, f(\boldsymbol{u})</math>

<math>\boldsymbol{u} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0},G)</math> と <math>\boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0},R)</math> および <math>Cov(\boldsymbol{u},\boldsymbol{\epsilon})=\boldsymbol{0}</math> には[[正規分布]]を仮定し、<math>\boldsymbol{\beta}</math> と <math>\boldsymbol{u}</math> の[[同時分布|同時密度関数]]（結合密度関数とも）を最大化すると、[[チャールズ・ヘンダーソン|ヘンダーソン]]の“mixed model equations (MME)”が得られる<ref>{{cite journal |last=Henderson |first=C R |date=1973 |title=Sire evaluation and genetic trends |url=http://www.journalofanimalscience.org/content/1973/Symposium/10.full.pdf |journal=Journal of Animal Science |publisher=American Society of Animal Science |volume=1973 |pages=10-41 |accessdate=17 August 2014}}</ref><ref name=GKR1991/><ref name=LDVV1989/>。

:<math>
\begin{pmatrix}
X'R^{-1}X & X'R^{-1}Z \\
Z'R^{-1}X & Z'R^{-1}Z + G^{-1} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\hat{\boldsymbol{\beta}} \\
\hat{\boldsymbol{u}}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
X'R^{-1}\boldsymbol{y} \\
Z'R^{-1}\boldsymbol{y}
\end{pmatrix}
</math>

このMMEを解く時、 <math>\textstyle\hat{\boldsymbol{\beta}}</math> と <math>\textstyle\hat{\boldsymbol{u}}</math> はそれぞれ、<math>\boldsymbol{\beta}</math> と <math>\boldsymbol{u}</math> の最良線形不偏推定量（BLUE）と最良線形不偏予測量（BLUP）である。これは、目的変数の条件付き分散が[[単位行列]]のスカラー倍にならない場合の[[ガウス＝マルコフの定理]]の解である。条件付き分散が既知である時、逆分散の加重最小二乗推定値はBLUEであるが、条件付き分散が既知であることは稀である。従ってMMEを解く時は、分散と加重推定値を同時推定する必要がある。

この様な混合モデルに適用する方法の一つとして、[[EMアルゴリズム]]<ref>{{cite journal | title=Newton-Raphson and EM algorithms for linear mixed-effects models for repeated-measures data | last=Lindstrom | first=ML |author2=Bates, DM | journal=JASA | volume=83 | year=1988 | pages=1014–1021 | issue=404 | doi=10.1080/01621459.1988.10478693}}</ref>がある。EMアルゴリズムにおいては分散成分が結合尤度における未観測の{{仮リンク|局外パラメータ|en|Nuisance parameter}}として扱われる。現在は、[[R言語]]（「nlme」ライブラリの「lme」関数）や{{仮リンク|SASシステム|en|SAS (software)}}（「proc mixed」プロシジャ）に実装されている。混合モデル式の解法として、誤差が正規分布する場合は最尤推定法を用いる<ref>{{cite journal | title=Random-Effects Models for Longitudinal Data | last=Laird | first=Nan M. |author2=Ware, James H. | journal=Biometrics | volume=38 | year=1982 | pages=963&ndash;974 | jstor=2529876 | doi=10.2307/2529876 | issue=4 | publisher=International Biometric Society | pmid=7168798}}</ref><ref>[[Garrett M. Fitzmaurice]], [[Nan M. Laird]], and [[James H. Ware]], 2004. ''[[Applied Longitudinal Analysis (textbook)|Applied Longitudinal Analysis]]''. John Wiley & Sons, Inc., 326-328.</ref>。

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
* Milliken, G. A., & Johnson, D. E. (1992). ''Analysis of messy data: Vol. I. Designed experiments''. New York: Chapman & Hall.
* West, B. T., Welch, K. B., & Galecki, A. T. (2007). Linear mixed models: A practical guide to using statistical software. New York: Chapman & Hall/CRC.

==関連項目==
* [[線型回帰]]
* [[分散分析]]
* [[一般線形モデル]]
* [[一般化線形モデル]]
* [[一般化線形混合モデル]]
* {{仮リンク|固定効果モデル|en|Fixed effects model}}
* [[変量効果モデル]]（または[[ランダム効果モデル]]）
* [[マルチレベルモデル]]
* [[:en:Mixed-design analysis of variance|Mixed-design analysis of variance]]
* 反復（繰り返し）測定デザイン（[[:en:Repeated measures design|Repeated measures design]]）

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:こんこうもてる}}
[[Category:統計モデル]]
[[Category:分散分析]]
[[Category:数学に関する記事]]