減衰振動のソースを表示

[[File:Decrement.svg|thumb|減衰振動の時刻歴波形の例<br>縦軸：振幅、横軸：時間]]
'''減衰振動'''（げんすいしんどう、damped oscillation<ref>{{Cite book|和書
|author=文部省|authorlink=文部省
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = 学術用語集 物理学編
|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
}}</ref>、damped vibration<ref name = "機械工学辞典_380-381"/>）とは、[[振幅]]が[[時間]]とともに徐々に小さくなるような[[振動]]現象である。[[単振動]]などは永久に動き続ける[[運動 (物理学)|運動]]であるが、実際にそのような[[実験]]を行うと、[[空気抵抗]]や[[摩擦力]]などの抵抗力を受け、いずれは停止してしまう。そのような運動を減衰振動と呼ぶ。

== 運動方程式 ==
[[File:Mass spring damper.svg|thumb|1自由度系の質量-バネ-ダンパ系の例]]
[[File:Damped spring.gif|thumb|減衰を伴うバネ振動のアニメーション]]
減衰振動のもっとも単純な[[モデル (自然科学)|モデル]]は、壁と[[質点]]を[[ばね]]でつないだ[[調和振動子]]モデルに、[[速度]]に[[比例]]する抵抗力を発生する減衰要素を加えたものである。時間を''t''、質点の[[質量]]を''m''、[[ショックアブソーバー|ダンパ]]の減衰係数を''c''、[[ばね定数]]を''k''、質点の位置を''x'' (''t'') （垂直方向のみ動けるとする）とすると、このモデルの[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]は次の[[線形微分方程式]]となる：
: <math>m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0</math>
さらに[[初期値問題|初期条件]]として次を与える：
: <math>x(0) = x_0</math> ：初期位置
: <math>\dot{x}(0) = v_0</math> ：初期速度
ここで上付きドットは[[時間微分]]である。この式のように、減衰力が速度に比例して発生するモデルにおける係数''c''のことを粘性減衰係数(viscous damping coefficient)と呼ぶ<ref name = "機械工学辞典_993"/>。

このモデルでは質点の垂直方向位置''x''のみを[[自由度]]としているので線形1自由度振動系などと呼ぶ。このような系は減衰を考慮した振動の最も単純な系の1つだが、この系の解析から減衰振動の重要な基礎概念を得ることができる<ref name = "機械振動学_12"/>。

=== 簡略表現 ===
運動方程式の簡略表現として、上式を変形した次式がよく用いられる：
: <math>\ddot{x}(t) + 2\zeta\omega_0\dot{x}(t) + \omega_0^2 x(t) = 0</math>
ここで、
: <math>c_\text{c} = 2\sqrt{mk}</math> ：臨界粘性減衰係数 (critical viscous damping constant) <ref name = "機械振動学_22"/>
: <math>\zeta = \frac{c}{c_\text{c}}</math> ：減衰比 (damping ratio) <ref name = "機械振動学_17"/>
: <math>\omega_0 = \sqrt{k/m}</math> ：[[固有振動数|固有角振動数]]あるいは不減衰固有角振動数 (natural angular frequency) <ref name = "機械振動学_18"/>

=== 無次元形式 ===
さらに初期条件も含めて[[無次元数]]で表すと、
: <math>\chi''(\tau) + 2\zeta\chi'(\tau) + \chi(\tau) = 0,</math>
: <math>\chi(0) = 1, \quad \chi'(0) = \sigma</math>
となる。ここで
: <math>' = \mathrm{d}/\mathrm{d}\tau</math>
: <math>\tau = \omega_0 t</math> ：無次元時間
: <math>\chi = x/x_0</math> ：無次元振幅
: <math>\sigma = \frac{v_0}{x_0\omega_0}</math> ：無次元初期速度
上式から分かるように、この運動を支配するパラメータは本質的に減衰比''&zeta;''と初期速度''&sigma;''の2つしかない。このことは[[次元解析]]をすることによっても分かる。

== 解 ==
[[File:Damping 1.svg|thumb|450px|減衰振動の時刻歴変化の様子、''ζ''の値によって運動の様子が異なる<br>縦軸は無次元振幅、横軸は無次元時間、ここでは''ω''：固有角振動数　]]

この運動の解は減衰比&zeta;の大きさによって4つに分類される。
=== 不減衰振動 ===
&zeta; = 0のとき<ref name = "機械振動学_17"/>
: <math>x(t) = C \cos\left(\omega_0 t-\alpha\right)</math>
ただし
: <math>C = x_0 \sqrt{1 + \sigma^2}</math>
: <math>\alpha = \tan^{-1}\left(- \sigma \right)</math>

{{main|単振動}}

=== 減衰振動 ===
0 < &zeta; < 1のとき<ref name = "機械振動学_19"/>
: <math>x(t) = C e^{-\zeta\omega_0 t} \cos\left(\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} t-\alpha\right)</math>
ただし
: <math>C = x_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)^2}</math>
:<math>\alpha = - \tan^{-1}\left(- \frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)</math>
この解は[[正弦波]]の振幅が[[指数関数的減衰|指数関数的に小さくなる]]ような運動であり、狭義にはこの解のみを指して減衰振動と呼ぶ。このような条件を不足減衰(under damping)と呼ぶ<ref name = "機械振動学_19"/>。

関数の角振動数に注目すると、この系の固有角振動数は<math>\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}</math>で与えられ、0 < &zeta; < 1なので減衰が無い場合の''ω''<sub>0</sub>よりも小さくなる。この減衰がある系の固有振動数を減衰固有角振動数(damped natural angular frequency)''ω''<sub>d</sub>、減衰固有振動数(damped natural frequency)''f''<sub>d</sub>と呼ぶ<ref name = "機械振動学_20"/>。
:<math> \omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}  </math>
:<math> f_d = \frac{\omega_d}{2\pi}  </math>

=== 臨界減衰 ===
&zeta; = 1のとき
: <math>x(t) = x_0 e^{-\omega_0 t} \left\{\left( \sigma+1 \right)\omega_0 t+1\right\}</math>
このような条件を臨界減衰(critical damping)と呼ぶ<ref name = "機械振動学_22"/>。

=== 過減衰 ===
&zeta; > 1のとき
: <math>x(t) = x_0 e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ \cosh\left(\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) + \frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}} \sinh\left(\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}\right) \right\}</math>
このような条件を過減衰(over damping)と呼ぶ<ref name = "機械振動学_22"/>。臨界減衰および過減衰のときは、減衰係数が大きすぎるために振動するような解ではなくなっている。

=== 指数関数を使った表現 ===
減衰比&zeta;が1でないときの解は、[[オイラーの公式]]などを用いて[[三角関数]]や[[双曲線関数]]を[[指数関数]]に直すことによって統一的に書き下すことができる。
: <math>x(t) = \frac{x_0}{2} e^{-\zeta\omega_0 t} \left\{ \left(1+\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} + \left(1-\frac{\sigma+\zeta}{\sqrt{\zeta^2-1}}\right)e^{-\omega_0 t\sqrt{\zeta^2-1}} \right\}</math>

== エネルギーの散逸 ==
減衰振動の運動方程式の[[エネルギー積分]]を考えると、系の[[力学的エネルギー]]がダンパの減衰力によって小さくなっていくことを見ることができる。エネルギー''W'' を
:<math>W(\dot{x},x) \equiv \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2</math>
とすると、その時間変化は
:<math>\begin{align}\frac{dW}{dt}
&= \frac{\partial W}{\partial \dot{x}}\frac{d\dot{x}}{dt} + \frac{\partial W}{\partial x}\frac{dx}{dt} \\
&=-c \dot{x}^2\leq 0
\end{align}</math>
となり、減衰係数''c''に比例した大きさで減少することが分かる<ref name=yoshikawafujita>{{cite|和書 |author=吉川茂|author2=藤田肇 |title=基礎音響学 |publisher=講談社サイエンティフィク |year=2002 |isbn=4-06-153972-8 |page=21-32}}</ref>。

[[Q値]]は
:<math>Q=\frac{1}{2\zeta}</math>
となる。

== 強制振動 ==
{{main|強制振動}}

== 減衰の種類 ==
上記のモデルでは減衰力が減衰要素に対する相対速度に比例する単純なモデルとしたが、実際には減衰要素は非線形である場合が多い。代表的には以下のような減衰モデルの種類がある<ref name = "振動のダンピング技術_14-16"/>。

;粘性減衰
:減衰力が減衰要素に対する相対速度に比例して発生する減衰モデル。運動方程式が線形となり数学的な取り扱いが簡単となる。[[レイノルズ数]]が小さく[[層流]]状態が仮定できるような流体による抵抗力によってこのような減衰力が発生する。
;速度二乗減衰
:減衰力が減衰要素に対する相対速度の二乗に比例して発生する減衰モデル。レイノルズ数が大きくなる場合の流体の抵抗力によって発生する。[[抗力]]などを参照。
;クーロン摩擦減衰
:減衰力が減衰要素に対する相対速度の絶対値に無関係に一定の力で発生する減衰モデル。[[摩擦力#クーロンの摩擦モデル]]が成り立つとされる乾燥摩擦などで与えられる。減衰力が常に相対速度方向と逆に働く点は他の減衰と同じなので、相対速度0で減衰力が不連続となる。
;ヒステリシス減衰
:[[粘弾性]]を示す要素によって発生する減衰力。荷重と変形の関係が[[ヒステリシス]]を示し、エネルギ損失が発生し、運動に減衰を与える。[[ゴム]]などの粘弾性材料で顕著である。

== 解析力学による表現 ==
減衰振動の運動方程式を与える[[ラグランジアン]]は次式で与えられる<ref>{{cite|和書 |editor= |author=山本義隆|author2=中村孔一 |title=解析力学Ⅰ  |edition= |publisher=朝倉書店 |year=1998 |isbn=4-254-13671-4  |page=292}}</ref>：
:<math>L(x,\dot{x},t) = \frac{m}{2}e^{2\gamma t}(\dot{x}^2-\omega_0^2x^2).</math>
ただし {{math|1=''&gamma;'' := ''&zeta; &omega;''{{sub|0}}}}。このとき[[一般化運動量]] {{mvar|p}} および[[ハミルトニアン]] {{mvar|H}} は
:<math>p:=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}e^{2\gamma t},</math>
:<math>H(x,p,t)=\frac{1}{2m}e^{-2\gamma t}p^2 + \frac{m}{2}e^{2\gamma t}\omega_0^2x^2</math>
となる。

さらにこの系に {{math|1=''W''(''x'', ''P'', ''t'') = ''xP'' exp(''&gamma;t'')}} を母関数とする[[正準変換]]を施す。ここで変換後の位置を {{mvar|X}}、運動量を {{mvar|P}} と表す。すると変換前後の変数の関係及び変換後のハミルトニアン {{mvar|K}} は
:<math>p = \frac{\partial W}{\partial x} = Pe^{\gamma t},</math>
:<math>X = \frac{\partial W}{\partial P} = xe^{\gamma t},</math>
:<math>K(X,P) = H+\frac{\partial W}{\partial t} = \frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega_0^2X^2+\gamma XP.</math>
と表され、ハミルトニアン {{mvar|K}} が時間 {{mvar|t}} を含まないことからこの系は時間変化しない[[保存量]] {{mvar|K}} をもつ[[保存系]]であることが分かる。
:<math>K(X,P) = \frac{P^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega_0^2X^2+\gamma XP = \text{const.}</math>
正準変換前の変数 {{math|''x'', ''p''}} で表すと
:<math>\frac{e^{-2\gamma t}}{2m}p^2 + e^{2\gamma t}\frac{m}{2}\omega_0^2x^2 + \gamma xp = \text{const.}</math>

ただし {{mvar|K}} は減衰振動系のエネルギーを表さないことに注意が必要である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|refs=
<ref name = "機械工学辞典_380-381">[[#機械工学辞典|「機械工学辞典」pp.380-381]]</ref>
<ref name = "機械工学辞典_993">[[#機械工学辞典|「機械工学辞典」p.993]]</ref>
<ref name = "機械振動学_12">[[#機械振動学|「機械振動学」p.12]]</ref>
<ref name = "機械振動学_17">[[#機械振動学|「機械振動学」p.17]]</ref>
<ref name = "機械振動学_18">[[#機械振動学|「機械振動学」p.18]]</ref>
<ref name = "機械振動学_19">[[#機械振動学|「機械振動学」p.19]]</ref>
<ref name = "機械振動学_20">[[#機械振動学|「機械振動学」p.20]]</ref>
<ref name = "機械振動学_22">[[#機械振動学|「機械振動学」p.22]]</ref>
<ref name = "振動のダンピング技術_14-16">[[#振動のダンピング技術|「振動のダンピング技術」pp.14-16]]</ref>

}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author = 山本鎭男編著
|coauthors = 曽根彰ほか著
|title = ダイナミカルシステムの数理 基礎
|year = 1999
|publisher = [[共立出版]]
|isbn = 4-320-08125-0
}}
* {{Cite book|和書
|editor=日本機械学会
|title=機械工学辞典
|publisher=丸善
|date=2007-01-20
|edition=第2版
|ISBN=978-4-88898-083-8
|ref=機械工学辞典
}}
* {{Cite book|和書
|editor=日本機械学会
|title=振動のダンピング技術
|publisher=養賢堂
|date=1998-09-01
|edition=第1版
|ISBN=4-8425-9816-6
|ref=振動のダンピング技術
}}
*{{Cite book|和書 
|author= 末岡淳男・金光陽一・近藤孝広 
|title=機械振動学
|publisher=朝倉書店 
|edition=初版
|date=2002-06-20
|isbn=4-254-23706-5 
|ref=機械振動学
}}


== 関連項目 ==
{{Commonscat|Mass-spring-dampers}} 
* [[振動]]、[[自由振動]]、[[強制振動]]
* [[RLC回路]] - 同様の微分方程式で記述される。
* [[ショックアブソーバー]]


{{デフォルトソート:けんすいしんとう}}
[[Category:振動と波動]]
[[Category:古典力学]]
[[Category:振動工学]]