渦度のソースを表示

[[画像:BuysBallot en.svg|200px|right|thumb|北半球における高気圧 (H) ・低気圧 (L) の回転方向]]
'''渦度'''（うずど、{{要出典範囲|かど|date=2022年5月}}、{{lang-en-short|Vorticity}}）は、[[流れ]]の回転するありさまを表現する量である。渦度は[[ベクトル量]]（さらに言えば[[擬ベクトル]]）であり、流れの[[速度]]ベクトルのなす[[ベクトル場]]の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]である。

渦度ベクトル {{Math|'''Ω'''}} は流速ベクトル {{Math|1='''''v''''' = (''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>)}} により、以下のように表される。
:<math>\begin{align} \boldsymbol{\Omega} &= \operatorname{rot} \boldsymbol{v} = \nabla \times \boldsymbol{v} \\
&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial v_z}{\partial y} - \dfrac{\partial v_y}{\partial z},& \dfrac{\partial v_x}{\partial z} - \dfrac{\partial v_z}{\partial x},& \dfrac{\partial v_y}{\partial x} - \dfrac{\partial v_x}{\partial y} \end{pmatrix}\end{align}</math>

渦度ベクトルを[[流線]]のようにつなげた曲線を'''渦線'''という。流れの中のある閉曲線上の各点を通る渦線によってできる曲面を'''渦管'''という。断面積を無限小にした渦管を'''渦糸'''という<ref group="注">渦線と渦糸は同じようであるが、渦線は幾何学的な曲線であり、渦糸は流体の肉付けのある点が異なる。たとえるなら幾何学的な点と[[質点]]との違いに似ている。</ref>。渦糸が[[閉曲線]]になっている場合、これを'''渦輪'''という<ref>{{cite|和書 |author=今井功 |title=流体力学（前編） |edition=24 |publisher=裳華房 |year=1997 |isbn=4-78532314-0 |page=43-44}}</ref><ref>{{cite|和書 |author=巽友正 |title=流体力学 |publisher=培風館 |year=1998 |isbn=4-563-02421-X |page=27-29}}</ref>。

== 性質 ==
* 流れの中に微小領域をとったとき、微小時間で考えれば、その領域は渦度ベクトルの方向を軸に角速度 {{Math|(1/2){{mabs|''ω''}}}} で剛体的に回転する。
* 1本の渦管を考えたとき、渦管の表面を一周する任意の閉曲線 {{Math|∂S}} に沿った[[循環 (流体力学)|循環]]（渦度 {{Math|'''''ω'''''}} の面積分）
*::<math>\Gamma=\oint_{\partial S} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm d\boldsymbol{s}=\int_{S} \boldsymbol{\omega}\cdot \mathrm d\boldsymbol{S}</math>
*:は、渦管に固有の量となり、'''渦管の強さ'''と呼ばれる。ここで {{Math|d'''''s'''''}} は閉曲線 {{Math|∂S}} の線要素、{{Math|d'''''S'''''}} は {{Math|∂S}} で囲まれる曲面の面要素である。
* 同様に、渦糸に対してその断面積 {{Mvar|σ}} と渦度 {{Mvar|ω}} との積 {{Math|1=Γ = ''σω''}} は渦糸に固有の量であり、'''渦糸の強さ'''と呼ばれる。このことから、渦糸が細いところほど渦度が大きくなることが分かる。
* 渦管や渦糸は流体内部の点で途切れることはなく、流体領域の境界（無限遠を含む）まで伸びているか、閉曲線となり渦輪を作るかのどちらかである。

=== テンソルとしての性質 ===
渦度は、速度勾配テンソルの反対称成分
:<math>
\big( \partial_{[i} v_{j]} \big) =
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 &
\dfrac{\partial v_1}{\partial x_2}-\dfrac{\partial v_2}{\partial x_1} &
\dfrac{\partial v_1}{\partial x_3}-\dfrac{\partial v_3}{\partial x_1}\\\\
\dfrac{\partial v_2}{\partial x_1}-\dfrac{\partial v_1}{\partial x_2} &
0 & 
\dfrac{\partial v_2}{\partial x_3}-\dfrac{\partial v_3}{\partial x_2}\\\\
\dfrac{\partial v_3}{\partial x_1}-\dfrac{\partial v_1}{\partial x_3} &
\dfrac{\partial v_3}{\partial x_2}-\dfrac{\partial v_2}{\partial x_3} &
0
\end{pmatrix}
</math>
を、関係式
:<math>\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)=\epsilon_{jik}\omega_k</math>
を用いてベクトルとして表したものである<ref group="注">一方、速度勾配テンソルの対称成分はひずみ速度テンソルと呼ばれる。</ref>。ここで {{Mvar|ε}} は[[エディントンのイプシロン]]である。

== ビオ・サバールの法則 ==
無限に広がる流体領域の渦度分布が与えられており、かつ無限遠で速度が0であるとき、速度分布は[[ビオ・サバールの法則]]により求められる。
:<math>\begin{align}\boldsymbol{v}&=\frac{1}{4\pi}\iiint\frac{\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}}{r^3} dV \\
&=\operatorname{rot}\iiint\frac{\boldsymbol{\omega}}{4\pi r}dV\end{align}</math>

== 渦度方程式 ==
流体の運動方程式の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]を取ることによって、次の'''渦度方程式'''が導かれる。
:<math>\frac{\partial\boldsymbol{\omega}}{\partial t}=\operatorname{rot}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{\omega})+\nu\nabla^2\boldsymbol{\omega}</math>
ここで&nu;は流体の[[動粘性係数]]である。

== 大気力学における渦度 ==
[[大気力学]]においては、渦度ベクトルの中で3方向の成分の中で特に重要なのは鉛直方向の成分であり、これは'''鉛直渦度'''と呼ばれ、単に渦度といった場合、暗黙の了解として鉛直渦度を指すことが多い。鉛直渦度は、東西南北方向の長方形の単位領域に対して、長方形の辺に沿う方向の風速を考え、
:（上辺の西向きの風速－下辺の西向きの風速）／縦方向の距離  - （右辺の南向きの風速－左辺の南向きの風速）／横方向の距離
により与えられる。北半球においては、低気圧の鉛直渦度は正になり、高気圧の鉛直渦度は負になる。南半球においては逆符号になる。

地表からは静止しているように見える空気も地球の[[自転]]に伴って運動しているので、[[慣性系]]から見れば渦度を持っている。この自転に伴う渦度を'''惑星渦度'''という。惑星渦度は {{Math|2''ω''sin''φ''}}（{{Mvar|ω}} は自転の[[角速度]]、{{Mvar|φ}} は[[緯度]]）である。惑星渦度と地表から見たときの風による渦度（'''相対渦度'''という）と足し合わせた渦度、つまり慣性系から見たときの風による渦度を'''絶対渦度'''という。

風に[[発散 (ベクトル解析)|発散や収束]]が無い場合、空気が別の場所へ移動してもその空気の絶対渦度は保存される。大気中では {{Val|500|ul=hPa}} の面がこの状況に近い。そのため将来の渦度の分布を予測することが可能であり[[数値予報]]の重要な要素となっている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[循環 (流体力学)]] - [[ストークスの定理]]によって、渦度と関連付けられる。
* [[空気砲 (科学教材)]] - 渦輪を可視化する工作物。

{{気象要素}}

{{DEFAULTSORT:うすと}}
[[Category:うず]]