測高公式のソースを表示

{{出典の明記|date=2010年12月}}
'''測高公式'''は、二つの等圧面で挟まれる大気層の中で[[気温]]と[[重力加速度]]が一定であると仮定して、その大気層の[[層厚]]と、上面及び底面となっている等圧面の[[気圧]]の比率を関連付けるものである。この公式は、[[静水圧平衡|静水圧の式]]と[[理想気体]]の[[状態方程式]]から得られる。

測高公式は、次の形で表される：

:<math>\ h = z_2 - z_1 = \frac{R \cdot T}{g} \cdot \ln \left [ \frac{P_1}{P_2} \right ]
</math>

ここで:

:<math>\ h</math> = 大気層の層厚  <nowiki>[m]</nowiki>
:<math>\ z</math> = [[ジオポテンシャル#ジオポテンシャル高度|ジオポテンシャル高度]] <nowiki>[m]</nowiki>
:<math>\ R</math> = 乾燥空気の[[気体定数]] 
:<math>\ T</math> = 二つの等圧面の間に挟まれる大気層の平均[[気温]] <nowiki>[K]</nowiki>
:<math>\ g</math> = [[重力加速度]] <nowiki>[m/s</nowiki><sup>2</sup><nowiki>]</nowiki>
:<math>\ P</math> = 二つの等圧面の[[気圧]] <nowiki>[Pa]</nowiki>

[[気象学]]においては、<math>P_1</math> および <math>P_2</math> は [[等圧面]]であり、T はそれらの等圧面に挟まれた空気層の平均気温である。[[国際標準大気]]を用いた[[気圧高度計]]では、上部および下部[[成層圏]]の等温面の中で、与えられた[[ジオポテンシャル#ジオポテンシャル高度|ジオポテンシャル高度]]における気圧を計算するために測高公式が用いられている。

== 導出 ==

静水圧の式:

:<math>\ P = \rho \cdot g \cdot z</math>

ここで <math>\ \rho </math> は [[密度]]  <nowiki>[kg/m</nowiki><sup>3</sup><nowiki>]</nowiki>である。この式を用いて、[[微分]]形式で書かれた[[静水圧平衡]]の方程式を作ると、次のようになる：

:<math>dP = - \rho \cdot g \cdot dz.</math>

これを[[理想気体]]の[[状態方程式]]：

:<math>\ P = \rho \cdot R \cdot T  </math> 

と結びつけ、<math>\ \rho</math> を消すと：

:<math>\frac{\mathrm{d}P}{P} = \frac{-g}{R \cdot T} \, \mathrm{d}z.</math>

となる。これを <math>\ z_1</math> から <math>\ z_2</math> まで積分すると:

:<math>\ \int_{p(z_1)}^{p(z_2)} \frac{\mathrm{d}P}{P} = \int_{z_1}^{z_2}\frac{-g}{R \cdot T} \, \mathrm{d}z.</math>

:<math>\ \int_{p(z_1)}^{p(z_2)} \frac{\mathrm{d}P}{P} =  \frac{-g}{R \cdot Ta}\int_{z_1}^{z_2} \, \mathrm{d}z.</math>

ここで Ta は気柱の平均気温である。

この積分により: 

:<math>\ln \left( \frac{P(z_2)}{P(z_1)} \right) = \frac{-g}{R \cdot Ta} ( z_2 - z_1 ) </math>

が与えられる。これを整理すると:

:<math>\ln \left( \frac{P_1}{P_2} \right) =  \frac{g}{R \cdot Ta} ( z_2 - z_1 ). </math>

の形になり、さらに変形すると:

:<math>( z_2 - z_1 ) =  \frac{R \cdot Ta}{g} \ln \left( \frac{P_1}{P_2} \right) </math>

となる。あるいは、対数をなくせば:

:<math> \frac{P_1}{P_2} =e ^ { {g \over R \cdot Ta} \cdot ( z_2 - z_1 )}.</math>

の形となる。


{{DEFAULTSORT:そつこうこうしき}}
[[Category:流体力学]]
[[Category:気象学]]