準フロベニウスリー代数のソースを表示

[[数学]]において、体 ''k'' 上の'''準フロベニウスリー代数''' (quasi-Frobenius Lie algebra)

:<math>(\mathfrak{g},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )</math> 

とは、[[リー代数]]
:<math>(\mathfrak{g},[\,\,\,,\,\,\,] )</math> 

であって、次のような[[非退化]][[歪対称行列|歪対称]][[双線型形式]] <math>\beta \colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to k</math> を持ったものである：

:<math>\beta</math> は ''k'' に値を持つ <math>\mathfrak{g}</math> のリー代数 2-{{仮リンク|コサイクル (代数トポロジー)|label=コサイクル|en|Cocycle (algebraic topology)}}。言い換えると、

::<math> \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0 </math> for all <math>X,Y,Z</math> in <math>\mathfrak{g}</math>.

<math>\beta</math> がコバウンダリであれば、つまりある線型形式 <math>f \colon \mathfrak{g}\to k</math> が存在して
:<math>\beta(X,Y)=f(\left[X,Y\right])</math>
であれば、
:<math>(\mathfrak{g},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )</math> 
は'''フロベニウスリー代数''' (Frobenius Lie algebra) と呼ばれる。

== 非退化不変歪対称双線型形式を持った pre-Lie algebra との同値性 ==
<math>(\mathfrak{g},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )</math> が準フロベニウスリー代数であれば、<math>\mathfrak{g}</math> 上に別の双線型積 <math>\triangleleft</math> を
::<math> \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)=\beta \left(Z \triangleleft Y,X \right) </math>
によって定義できる。

すると<math>\left[X,Y\right]=X \triangleleft Y-Y \triangleleft X</math> が成り立ち、
:<math>(\mathfrak{g}, \triangleleft)</math> 
は {{仮リンク|pre-Lie algebra|en|pre-Lie algebra}} である。

==関連項目==
*{{仮リンク|リー余代数|en|Lie coalgebra}}
*{{仮リンク|リー双代数|en|Lie bialgebra}}
*{{仮リンク|リー代数のコホモロジー|en|Lie algebra cohomology|label=}}
*[[フロベニウス代数]]
*[[準フロベニウス環]]

==参考文献==
* Jacobson, Nathan, ''Lie algebras'', Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.  ISBN 0-486-63832-4
* Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, ''A Guide to Quantum Groups'', (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.

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[[Category:リー環論]]
[[Category:余代数]]
[[Category:シンプレクティックトポロジー]]
[[Category:フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]