準円のソースを表示


[[ファイル:Fermat-Apollonius_circle.svg|サムネイル|楕円の最小包囲矩形と準円。]]
'''準円'''（じゅんえん、{{Lang-en-short|director circle, orthoptic circle, Fermat–Apollonius circle}}）は、[[楕円]]と[[双曲線]]に定義される、楕円または双曲線を通る2本の[[接線]]が[[直交]]するような全ての交点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]として構成される[[円 (数学)|円]]である<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=[[開新堂]] |id={{NDLJP|826188}} |page=46}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学教科書 |year=1906 |publisher=[[三省堂]] |pages=128,156,186 |author=チャーレス・スミス |authorlink=チャーレス・スミス (数学者) |translator=[[宮本藤吉]] |id={{NDLJP|828396}}}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |year=1932 |publisher=[[共立出版|共立社書店]] |pages=105-109 |author=[[窪田忠彦]] |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |pages=281-287 |id={{NDLJP|930885}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=NEW ACTION LEGEND 数学III（本編） |url= |publisher=[[東京書籍]] |date=2017-09-01 |language=ja |last=東京書籍編集部 |last2=ニューアクション編集委員会 |page=51 |isbn=4487379938}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学演習 第2巻 |year=1931 |publisher=文明社 |author=[[大上茂喬]] |author2=[[松室隆光]] |id={{NDLJP|1107735}} |page=265}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |page= |id={{NDLJP|952208}} |translator=[[小倉金之助]] |author=[[ジョージ・サーモン|サーモン]] |pages=481,509,665}}</ref>。

== 性質 ==
楕円の準円はその楕円の{{仮リンク|最小包囲矩形|en|Minimum bounding rectangle}}に[[外接円|外接]]する。楕円と同心で、その[[軌道長半径|長半径]]と[[軌道短半径|短半径]]をそれぞれ <math>a,b</math> とすれば準円の[[半径]]は <math display="inline">\sqrt{a^2 + b^2}</math> である<ref>{{Harvnb|Akopyan|Zaslavsky|2007}}</ref>。

双曲線の準円の半径は <math display="inline">\sqrt{a^2 - b^2}</math> であるが、これは、[[平面|ユークリッド平面]]上には存在しない場合がある。つまり、[[複素平面]]上に半径を持ち、[[円 (数学)|虚円]]や点円になることがある。

円の準円は、元の円の <math display="inline">\sqrt{2}</math> 倍の半径を持つ[[同心円]]になる。

== 連合準円 ==
2つの[[共焦点円錐曲線]]について、円上の点を通るそれぞれの[[円錐曲線]]の1本の[[接線]]が[[直交]]するような円を'''連合準円'''（{{Lang|en|joint-director circle}}）という<ref name=":1" /><ref>{{Cite journal|last=Gulasekharam|first=F. H. V.|date=1941|title=The Orthopolar Circle|url=https://www.jstor.org/stable/3606560|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=25|issue=267|pages=288–297|doi=10.2307/3606560|issn=0025-5572}}</ref>。この概念は例えば、[[レナード・ジェームス・ロジャース|ロジャース]]の示した[[フォイエルバッハの定理]]の一般化（[[フォイエルバッハの定理#ロジャース|ロジャースの定理]]）などに使われる<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |pages=62,134-136 |author=[[窪田忠彦]] |id={{NDLJP|1063410}}}}</ref>。

== 一般化 ==
より一般に、任意の点 {{Mvar|P<sub>i</sub>}} の集合と、重み {{Mvar|w<sub>i</sub>}}、[[定数]] {{Mvar|C}} について、次の式で定義される点 {{Mvar|X}} の[[集合]]は円となる。<math display="block">\sum_i w_i \, d(X,P_i)^2 = C.</math>{{Math|''d'' ( ''x'' , ''y'' )}} は[[距離関数]]（[[ユークリッド距離]]）。

楕円の準円は、{{Math|''P''<sub>1</sub>,''P''<sub>2</sub>}} が楕円の[[焦点 (幾何学)|焦点]]、重み {{Math|1=''w''<sub>1</sub> = ''w''<sub>2</sub> = 1}}、{{Mvar|C}} が長半径の二乗の場合である。[[アポロニウスの円]]は、点 {{Math|''P''<sub>1</sub>,''P''<sub>2</sub>}} と点 {{Mvar|X}} の距離の比 {{Mvar|r}} が一定であるような点 {{Mvar|X}} の軌跡である。{{Math|1=''w''<sub>1</sub> = 1}}、{{Math|1=''w''<sub>2</sub> = –''r''<sup> 2</sup>}}、{{Math|1=''C'' = 0}} の場合である。

== 放物線の場合 ==
[[放物線]]の準円は[[直線]]に[[退化 (数学)|退化]]する。この線は[[円錐曲線|準線]]と呼ばれる<ref>{{Harvnb|Faulkner|1952}}</ref>。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|title=Geometry of Conics|last=Akopyan|first=A. V.|last2=Zaslavsky|first2=A. A.|year=2007|publisher=[[American Mathematical Society]]|series=Mathematical World|volume=26|isbn=978-0-8218-4323-9}}
* {{Citation|title=Elements of Projective Geometry|last=Cremona|first=Luigi|author-link=ルイージ・クレモナ|year=1885|publisher=Clarendon Press|page=369|location=Oxford}}
* {{Citation|title=Projective Geometry|last=Faulkner|first=T. Ewan|year=1952|publisher=Oliver and Boyd|location=Edinburgh and London}}
* {{Citation|title=Some new ratios of conic curves|last=Hawkesworth|first=Alan S.|year=1905|journal=The American Mathematical Monthly|volume=12|issue=1|pages=1–8|doi=10.2307/2968867|jstor=2968867|mr=1516260}}
* {{Citation|title=The Elements of Coordinate Geometry|last=Loney|first=Sidney Luxton|author-link=S. L. Loney|year=1897|publisher=Macmillan and Company, Limited|page=365|location=London}}
* {{Citation|title=Elements of Analytic Geometry|last=Wentworth|first=George Albert|year=1886|publisher=Ginn & Company|page=150}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1009|楕円，放物線，双曲線の準円}}

{{デフォルトソート:しゆんえん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]