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[[数学]]の1分野である[[代数幾何学]]において、[[概型|スキーム]]の[[射]] ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' が'''準有限'''（じゅんゆうげん、{{lang-en-short|quasi-finite}}）であるとは、{{仮リンク|有限型射|label=有限型|en|Morphism of finite type}}かつ以下の同値な条件をいずれか１つ、したがって全てを満たすことを言う<ref>EGA II, Définition 6.2.3</ref>。

* ''X'' の全ての点 ''x'' はファイバー ''f''<sup>&minus;1</sup>(''f''(''x'')) の中で孤立している。言い換えれば、全てのファイバーは離散集合（したがって有限集合）である。

* ''X'' の全ての点 ''x'' に対して、スキーム {{nowrap|''f''<sup>&minus;1</sup>(''f''(''x'')) {{=}} ''X'' &times;<sub>Y</sub>Spec &kappa;(''f''(''x''))}} は有限 &kappa;(''f''(''x'')) スキームである。ここで、&kappa;(''p'') は点 ''p'' での剰余体である。

* ''X'' の全ての点 ''x'' に対して、<math>\mathcal{O}_{X,x}\otimes \kappa(f(x))</math> は <math>\kappa(f(x))</math> 上有限生成である。

準有限射は[[アレクサンドル・グロタンディーク]]により [[Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie|SGA]] 1 の中で初めて定義されたが、そのときは有限型という仮定はついていなかった。この仮定は、のちに [[代数幾何原論|EGA]] II 6.2 で定義されたときに、準有限性を[[茎_(数学)|茎]]を使って代数的に特徴づけるために追加された。

スキームの射 {{nowrap|''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''}} と ''X'' の点 ''x'' に対して、''f'' が ''x'' で'''準有限'''とは、''x'' の開アフィン近傍 ''U'' と ''f''(''x'')  の開アフィン近傍 ''V'' が存在して、''f''(''U'') が ''V'' に含まれ、制限 {{nowrap|''f'' : ''U'' &rarr; ''V''}} が準有限であることを言う。''f'' が'''局所的に準有限'''（locally quasi-finite）とは、''X'' の全ての点で準有限であることを言う<ref>EGA III, Err<sub>III</sub>, 20.</ref>。準コンパクトかつ局所的に準有限な射は準有限射である。

== 性質 ==

''f'' を射とすると、以下が成り立つ<ref name=autogenerated1>EGA II, Proposition 6.2.4.</ref>。

* ''f'' が準有限なら、[[代数幾何学用語一覧#被約スキーム|被約スキーム]]の間に誘導された射 ''f''<sub>red</sub> も準有限である。

* ''f'' が{{仮リンク|閉埋入|en|Closed immersion}}なら ''f'' は準有限である。

* ''X'' がネーターで ''f'' がはめ込み（immersion）なら ''f'' は準有限である。

* 射 {{nowrap|g : ''Y'' &rarr; ''Z''}} に対し、{{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} が準有限で、さらに以下のいずれかが満たされるなら、''f'' は準有限である。
*#''g'' は分離射
*#''X'' はネーター
*#{{nowrap|''X'' &times;<sub>''Z''</sub> ''Y''}} は局所ネーター

準有限性は基底変換で保たれる。準有限射の合成やファイバー積は準有限である<ref name=autogenerated1 />。''f'' が点 ''x'' で[[代数幾何学用語一覧#不分岐|不分岐]]なら、''f'' は ''x'' で準有限である。逆に、''f'' が ''x'' で準有限で、ファイバー ''f''<sup>&minus;1</sup>(''f''(''x'')) での ''x'' の局所環 <math>\mathcal{O}_{f^{-1}(f(x)),x}</math> が体でしかも &kappa;(''f''(''x'')) の有限次分離拡大になっているなら、''f'' は ''x'' で不分岐である<ref>EGA IV<sub>4</sub>, Théorème 17.4.1.</ref>。

[[有限射]]は準有限である<ref>EGA II, Corollaire 6.1.7.</ref>。局所的に有限表示な準有限[[固有射]]は有限である<ref>EGA IV<sub>3</sub>, Théorème 8.11.1.</ref>。実は、射が有限であるのは固有かつ準有限のとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）。

一般化された'''{{仮リンク|ザリスキの主定理|en|Zariski Main Theorem}}'''（Zariski's main theorem）とは次の主張である<ref>EGA IV<sub>3</sub>, Théorème 8.12.6.</ref>。''Y'' を[[コンパクト空間|準コンパクト]]かつ準分離的、''f'' を準有限かつ分離的かつ有限表示とする。このとき、''f'' は <math> X \hookrightarrow X' \to Y</math> と分解する。ここで、最初の射は開埋入で、次の射は有限射である。つまり、''X'' は ''Y'' 上有限なスキームの開集合である。

== 脚注 ==

{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==

*{{cite book
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | author-link = Alexandre Grothendieck
 |author2=Michèle Raynaud
  | title = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques '''3''')
 | orig-year = 1971
 | edition = Updated
 | year = 2003
 | publisher = Société Mathématique de France
 | language = fr
 | isbn = 2-85629-141-4
 | no-pp = true
 | page = xviii+327
}}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | author-link = Alexandre Grothendieck
 |author2=Jean Dieudonné
 |author2-link=Jean Dieudonné
 | year = 1961
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 8
 | pages = 5–222
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
 | doi=10.1007/bf02699291
}}
*{{cite journal
 | last = Grothendieck
 | first = Alexandre
 | author-link = Alexandre Grothendieck
 |author2=Jean Dieudonné
 |author2-link=Jean Dieudonné
 | year = 1966
 | title = Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie
 | journal = Publications Mathématiques de l'IHÉS
 | volume = 28
 | pages = 5–255
 | url = http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1966__28_
}}

[[Category:スキームの射]]
[[Category:数学に関する記事]]
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