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: ''この記事は[[抽象代数学|現代代数学]]の分野である[[環論]]の文脈における準正則性の概念についてのものです。[[数学]]における準正則性の他の概念については、英語版の曖昧さ回避ページ [[:en:quasiregular (disambiguation)|quasiregular]] をご覧ください。''

[[数学]]、特に[[環論]]において、'''準正則性''' (quasiregularity) の概念は環の[[ジャコブソン根基]]で研究するための計算的に便利な方法を提供してくれる<ref name="Isaacs, p. 180">Isaacs, p. 180</ref>。直感的には、'''準正則性'''は環の元が「悪い」、つまり、望ましくない性質をもっているとはどういうことかを捉える<ref>Isaacs, p. 179</ref>。「悪い元」は準正則である必要があるが、準正則元はかなりあいまいな意味で「悪い」必要はない。この記事においては、主として[[単位的環]]に対して準正則性の概念を考える。しかしながら、一節は非単位的環における準正則性の理論に割かれる。これは非可換環論の重要な側面を構成する。

== 定義 ==
''R'' を（[[乗法単位元|単位元]]をもつ）環とし、 ''r'' を ''R'' の元とする。このとき ''r'' が'''準正則''' (quasiregular) であるとは、{{math|1 &minus; ''r''}} が ''R'' の[[可逆元|単元]]である、つまり、乗法について可逆であるということである<ref name="Isaacs, p. 180"/>。'''右または左準正則性''' (right or left quasiregularity) の概念はそれぞれ {{math|1 &minus; ''r''}} が右または左逆元をもつ状況に対応する<ref name="Isaacs, p. 180"/>。

単位的でない<!--単位元の存在を仮定しないの意味-->環の元 ''x'' が'''右準正則''' (right quasiregular) であるとは、ある ''y'' が存在して {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''xy'' {{=}} 0}} となるということである<ref name="#1">Lam, Ex. 4.2.</ref>。'''左準正則''' (left quasiregular) 元の概念も同様に定義される。元 ''y'' を ''x'' の'''右準逆元''' (right quasi-inverse) と呼ぶことがある<ref>Polcino & Sehgal (2002), [{{Google books|plainurl=y|id=7m9P9hM4pCQC|page=298|text=this element is called a left quasi inverse of x}} p. 298].</ref>。環が単位的であれば、この準正則性の定義は上で与えられた定義と一致する<ref name="#1"/>。{{math|''x'' * ''y'' {{=}} ''x'' + ''y'' &minus; ''xy''}} と書けば、この二項演算 * は結合的である<ref>Lam, Ex. 4.1.</ref>。それゆえ、元が左と右の準逆元を両方とももてば、それらは等しい<ref>''0'' が乗法単位元なので、<math>x * y = 0 = y' * x</math> であれば、<math>y = (y' * x) * y = y' * (x * y) = y'</math> である。準正則性は環が乗法単位元をもつことを要求しない。</ref>。

=== 注意 ===
準正則性について、別の定義が存在する。すなわち、rng {{mvar|R}} において、二項演算 <math>\circ</math> を <math>x \circ y = x + y + xy</math> と定義すると、これにより上記の {{math|*}} と同様 {{mvar|R}} は 0 を単位元とするモノイドとなり、{{math|''y'' &isin; ''R''}} は、この演算に関して左逆元が存在するときに、左準正則というのである（右準正則も同様）<ref>Kaplansky, p. 85</ref>。このとき、{{mvar|R}} が単位的環であれば、{{math|''r'' &isin; ''R''}} が左（resp. 右）準正則であることと {{math|1 + ''r''}} が環の乗法について左（resp. 右）逆元を持つことが同値である。

"* による定義"がジャコブソンによるオリジナルのものである<ref>Lam, Ex. 4.2 の後のコメント参照。Jacobson, "Structure of Rings" (Colloquium Publications) AMS.</ref>。<math>(-a)*(-b)=-(a\circ b)</math> であるから、符号を考慮すれば定義を行き来出来る<ref name="Lam">Lam, Ex. 4.2 の後のコメント</ref>。例えば、一方の定義で {{mvar|y}} が左準正則であることともう一方の定義で {{math|&minus;''y''}} が左準正則であることは同値である<ref name="Lam" />。

''本記事では、"* による定義"を採用するが、上記注意により" <math>\circ</math> による定義"でのステートメントに修正することは容易である。''

== 例 ==
* ''R'' が環であれば、''R'' の加法単位元 0 はつねに準正則である。
* {{math|''x''<sup>2</sup>}} が右（resp. 左）準正則であれば、{{math|±''x''}} は右（resp. 左）準正則である<ref>Lam, Ex. 4.4 の証明参照。</ref><ref>"<math>\circ</math> による定義"であれば、「{{math|&minus;''x''<sup>2</sup>}} が右（resp. 左）準正則であれば、{{math|±''x''}} は右（resp. 左）準正則である」となる。Kaplansky, p. 108</ref>。
* ''R'' が環であれば、''R'' のすべての[[冪零元]]は準正則である<ref>Lam, Ex. 4.2.(2)</ref><ref>"<math>\circ</math> による定義"では、この事実はまた初歩的な計算によって確認される。すなわち、{{math|''x''<sup>''n'' + 1</sup> {{=}} 0}} であれば、<math>(1+x)(1 - x + x^2 - x^3 + ... + (-x)^n) = 1.</math></ref>。

* 行列はその加法逆元が[[固有値]]として &minus;1 をもたなければ[[行列環]]において準正則である。より一般に、[[有界作用素]]はその加法逆元が &minus;1 がそのスペクトルになければ準正則である{{要出典|date=2015年3月}}。
* 単位的バナッハ代数において、<math>\|x\| < 1</math> であれば、幾何級数 <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> は収束する。したがって、すべてのそのような ''x'' は準正則である。
* ''R'' が環で {{math|''S'' {{=}} ''R'' [[''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>]]}} が ''R'' 上 ''n'' 不定元[[形式的冪級数]]環であれば、''S'' の元が準正則であることとその定数項が ''R'' の元として準正則であることは同値である。

== 性質 ==
* （可換とは限らない）環の[[ジャコブソン根基]]のすべての元は準正則である<ref>Isaacs, Theorem 13.4(a), p. 180</ref>。実は、環のジャコブソン根基はすべての元が右準正則であるという性質に関して極大な、環の唯一の右イデアルとして特徴づけることができる<ref>Isaacs, Theorem 13.4(b), p. 180</ref><ref>Isaacs, Corollary 13.7, p. 181</ref>。しかしながら、右準正則元がジャコブソン根基の元であるとは限らない<ref>Isaacs, p. 181</ref>。これは記事の初めのリマークを正当化する - 準正則元が「悪い」必要はないが、「悪い元」は準正則である。環のジャコブソン根基の元はしばしば「悪い」と思われる<!--受け身のれるのつもり-->。

* 環の元が冪零かつ[[中心 (代数学)|中心的]]であれば、それは環のジャコブソン根基の元である<ref>Isaacs, Corollary 13.5, p. 181</ref>。これはその元で生成される[[単項イデアル|単項右イデアル]]が準正則（実は冪零）元のみからなるからだ。

* 環の元 ''r'' ≠ 0 が[[冪等元|冪等]]であれば、環のジャコブソン根基の元ではありえない<ref>Isaacs, Corollary 13.6, p. 181</ref>。これは冪等元が準正則ではありえないからだ。この性質は、上記の性質と同様、記事のトップで与えられた、準正則性の概念はジャコブソン根基で研究するときに計算的に便利であるというリマークを正当化する<ref name="Isaacs, p. 180"/>。

== 半環への一般化 ==
準正則元の概念は直ちに[[半環]] (semiring) へと一般化される。''a'' が半環 ''S'' の元であれば、''S'' から自身へのアフィン写像は <math>\mu_a(r) = ra + 1</math> である。''S'' の元 ''a'' が'''右準正則''' (right quasiregular) であるとは、<math>\mu_a</math> が一意とは限らない[[固定点]]をもつときにいう。各そのような固定点は ''a'' の'''左準逆元''' (left quasi-inverse) と呼ばれる。''b'' が ''a'' の左準逆元でさらに ''b'' = ''ab'' + 1 であれば、''b'' は ''a'' の'''準逆元''' (quasi-inverse) と呼ばれる。準逆元をもつ半環の任意の元を'''準正則''' (quasiregular) と言う。半環のすべてではなく一部の元が準正則であるということはあり得る。例えば、通常の加法と乗法による非負の実数の半環において、<math>\mu_a</math> は固定点 <math>\frac{1}{1-a}</math> をすべての {{math|''a'' < 1}} に対してもつが、{{math|''a'' ≥ 1}} に対しては固定点をもたない<ref name="Golan2003">{{cite book|author=Jonathan S. Golan|title=Semirings and Affine Equations over Them|url=https://books.google.co.jp/books?id=jw4Hmgz5ETQC&pg=PA157&redir_esc=y&hl=ja|date=30 June 2003|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4020-1358-4|pages=157–159 and 164–165}}</ref>。半環のすべての元が準正則であれば半環は'''準正則半環''' (quasi-regular semiring)、'''閉半環''' (closed semiring)<ref name="PoulyKohlas2012b">{{cite book|author1=Marc Pouly|author2=Jürg Kohlas|title=Generic Inference: A Unifying Theory for Automated Reasoning|year=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-01086-0|pages=232 and 248–249}}</ref>、あるいは時折'''レーマン半環''' (Lehmann semiring)<ref name="Golan2003"/>と呼ばれる（後者は Daniel J. Lehmann の論文<ref>{{Cite journal
| doi = 10.1016/0304-3975(77)90056-1
| title = Algebraic structures for transitive closure
| journal = Theoretical Computer Science
| volume = 4
| pages = 59
| year = 1977
| last1 = Lehmann | first1 = D. J. 
}}</ref> に敬意を払っている）。

準正則半環の例は{{仮リンク|クレイニ代数|en|Kleene algebra}}（それらの中でも顕著に、[[正則表現 (数学)|正則表現]]の代数）によって提供される。そこでは準逆元は最小固定点解として定義される単項演算（''a''* で表記される）の役割に持ち上げられる。クレイニ代数は加法的に冪等であるがすべての準正則半環がそうであるわけではない。非負実数の例を[[無限|無限大]]を含むように拡張でき、それは任意の元 ''a''&nbsp;&ge;&nbsp;1 の準逆元が無限大である準正則半環になる。この準正則半環はしかしながら加法的に冪等ではないので、クレイニ代数でない<ref name="PoulyKohlas2012b"/>。しかしながらそれは [[:en:complete semiring|complete semiring]] である<ref name="droste">Droste, M., & Kuich, W. (2009). Semirings and Formal Power Series. ''Handbook of Weighted Automata'', 3–28. {{doi|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}, pp. 7-10</ref>。より一般に、すべての complete semiring は準正則である<ref name="Zimmermann2011">{{cite book|author=U. Zimmermann|title=Linear and combinatorial optimization in ordered algebraic structures|url=https://books.google.co.jp/books?id=7LAwym3Nh0AC&pg=PA141&redir_esc=y&hl=ja|year=1981|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-086773-1|page=141}}</ref>。用語 ''closed semiring'' は実は著者によってはただの準正則ではなく complete semiring を意味するために用いられる<ref name="Kozen1992">{{cite book|author=Dexter Kozen|title=The Design and Analysis of Algorithms|url=https://books.google.co.jp/books?id=L_AMnf9UF9QC&pg=PA31&redir_esc=y&hl=ja|year=1992|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-97687-7|page=31}}</ref><ref name="Storer2001">{{cite book|author=J.A. Storer|title=An Introduction to Data Structures and Algorithms|url=https://books.google.co.jp/books?id=S-tXjl1hsUYC&pg=PA336&redir_esc=y&hl=ja|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-8176-4253-2|page=336}}</ref>。

{{仮リンク|Conway 半環|en|Conway semiring}}はまた準正則である。2つの Conway の公理は実は独立である、つまり、the product-star [Conway] axiom, {{math|1=(''ab'')<sup>*</sup> = 1 + ''a''(''ba'')<sup>*</sup>''b''}} のみを満たし the sum-star axiom, {{math|1=(''a'' + ''b'')<sup>*</sup> = (''a''<sup>*</sup>''b'')<sup>*</sup>''a''<sup>*</sup>}} を満たさない半環が存在し、and vice-versa。半環が準正則であることを意味しているのは the product-star [Conway] axiom である。その上、{{仮リンク|可換半環|en|commutative semiring}}が準正則であることと the product-star Conway axiom を満たすことは同値である<ref name="Golan2003"/>。

準正則半環は[[最短経路問題]]の一般化である algebraic path problems において現れる<ref name="PoulyKohlas2012b"/>。

== 関連項目 ==
* [[逆元]]
* [[ジャコブソン根基]]
* [[環の冪零根基|冪零根基]]
* [[可逆元]]
* [[冪零元]]
* [[環の中心]]
* [[冪等元]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==

* {{cite book
 | author = [[Martin Isaacs|I. Martin Isaacs]]
 | year = 1993
 | title = Algebra, a graduate course
 | edition = 1st
 | publisher = Brooks/Cole Publishing Company
 | isbn = 0-534-19002-2
}}
* {{cite book
 | author = Irving Kaplansky
 | year = 1969
 | title = Fields and Rings
 | publisher = The University of Chicago Press
}}
* {{cite book
 | author = Milies, César Polcino
 | author2 = Sehgal, Sudarshan K.
 | year = 2002
 | title = An introduction to group rings
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-1-4020-0238-0
}}
<!--* {{cite book
|last1 = Lam
|first1 = Tsi-Yuen
|title = A First Course in Noncommutative Rings
|series = Graduate Texts in Mathematics
|volume = 131
|edition = 2nd
|publisher = Springer-Verlag
|place = New York
|year = 2001
|isbn = 978-1-4419-8616-0
|ref=harv
}}--><!-- 下の本だけで済む -->
* {{Cite book
| last1=Lam
| first1=Tsit-Yuen
| title=Exercises in Classical Ring Theory
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| series=Problem Books in Mathematics
| edition = 2nd | isbn=978-0387005003
| year=2003
}}

{{DEFAULTSORT:しゆんせいそくけん}}
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]