演算子法のソースを表示

{{参照方法|date=2013年6月}}
'''演算子法'''（えんざんしほう）とは[[数学]]に於ける[[解析学]]の問題、特に[[微分方程式]]を[[代数学|代数]]的問題（普通は[[代数方程式|多項式方程式]]）に変換して解く方法である。[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]の貢献が特に大きいので「ヘヴィサイドの演算子法」とも呼ばれるが、厳密な理論化はその後の数学者たちにより行われた。

==歴史==
[[関数 (数学)|関数]]に対する[[微分]]や[[積分]]その他の演算の過程を「演算子」（operator。[[解析学]]では[[作用素 (関数解析学)|作用素]]の語を使うこともある）として表現する発想には長い歴史があり、[[ゴットフリート・ライプニッツ]]まで遡る。これらの関数に施される演算記号を関数と独立に操作した最初の一人として、数学者でストラスブールの砲兵学校の教授であったルイ・フランソワ・アルボガスト（[[:en:Louis Fran&ccedil;ois Antoine Arbogast|L. F. A. Arbogast]]）がいる。この試みは、便利な記法を開発したフランスの数学者セルヴォワ（[[:fr:Fran&ccedil;ois-Joseph Servois|F-J. Servois]]）によりさらに発展した。セルヴォワに続きハーグリーブ（Charles Heargrave）、ブール（G. Boole）、ブロンウィン（B. Bownin）、カーマイケル（R. Carmicheal）、ドンキン（B. Doukin）、グレーブス（Graves）、マーフィ（R. Murphy）、スポティスウード（[[:en:William Spottiswoode|W. Spottiswoode]]）、シルベスター(Sylvester）といったイギリスの数学者たちが現れた。演算子法の[[常微分方程式|常微分]]・[[偏微分方程式|偏微分]]方程式への応用に関する論文を最初に著したのは[[ジョージ・ブール]]（1859年）とロバート・ベル・カーマイケル（[[:en:Robert Bell Carmichael|R. B. Carmichael]]）（1855年）である。この方法は1893年、[[電磁気]]の研究に関連して物理学者[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]により一気に発展した。当時ヘヴィサイドの方法は厳密でなく、彼の研究は数学者により直ちに発展させられることはなかった。なお、ヘヴィサイド自身は演算子法が数学的な厳密性に欠けるとの批判に対し、「私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない（"I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion."）」という有名な言葉を残している。

演算子法は1910年を過ぎてから、バーグ（[[:en:Ernst Julius Berg|E. J. Berg]]）、カーソン（[[:en:John Renshaw Carson|J. R. Carson]]）および[[ヴァネヴァー・ブッシュ|ブッシュ]]の貢献により、[[電気工学]]の問題で[[電気回路|線形回路]]の[[過渡現象]]の計算に応用され始めた。ヘヴィサイドの演算子法が厳密に数学的理論化されたのは、演算子法を[[ラプラス変換]]と結び付けたブロムヴィッチ（[[:en:Thomas John I'Anson Bromwich|T. Bromwich]]）の研究以降のことである（詳しい説明はJeffreys、Carslaw、MacLachlanの各著書を参照）。

ヘヴィサイド演算子法の別の理論化は、1920年代半ばに[[積分方程式]]の方法（Carsonなど）または[[フーリエ変換]]（[[ノーバート・ウィーナー]]など）を利用してなされた。

1930年代、これらとは別なやり方で演算子法を展開したのが、ポーランドの数学者[[ヤン・ミクシンスキー]]である。彼は代数的な方法を用いて演算子法を数学的に正当化した（[[ミクシンスキーの演算子法]]参照）。

==原理==
演算子法の中心は、微分を関数に施される演算子（作用素） <math>p=d/dt</math> と捉える点にある。線形微分方程式は、演算子 <math>p</math> を変数とする演算子値関数 <math>F(p)</math> を未知の関数に施したものが既知の関数に等しいという形に書き直せる。すると、<math>F</math> の[[逆写像|逆]]演算子を既知の関数に施せば解が得られる。

電気回路の理論では、入力に対する応答を求めることが問題となる。[[線形性]]により、単位[[階段関数]]、すなわち <math>H(t<0)=0</math> かつ <math>H(t>0)=1</math> となるような関数 <math>H(t)</math> を考えれば十分である。演算子法の応用の最も単純な例は、<math> py=H(t) </math> を解く問題である。これは、
:<math> y=p^{-1} H = \int_0^t H(u) du= t H(t) </math>
となる。この例から、<math> p^{-1}</math> は積分を表し、<math>p^{-n}</math> は <math> n </math>回反復積分を表すことがわかる。特に、
:<math>p^{-n} H(t)=\frac{t^n}{n!} H(t)</math>
である。すると
:<math>\frac{p}{p-a}H(t)=\frac{1}{1-\frac{a}{p}}H(t)</math>
には[[級数展開]]を用いた意味付けを行うことができる。つまり
:<math>\frac{1}{1-\frac{a}{p}}H(t)=\sum_{n=0}^\infty a^n p^{-n}H(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n t^n}{n!} H(t)=e^{at} H(t) </math>
と考えるということである。このことはさらに、[[部分分数分解]]を通して、演算子 <math>p</math> に関する任意の分数を定義することを可能にし、それを <math>H(t)</math> に施したものを計算できる。それ以外の場合でも、もし関数 <math>\frac{1}{F(p)}</math> が
:<math>\frac{1}{F(p)}=\sum_{n=0}^\infty a_n p^{-n}</math>
という形の級数展開を持つならば、これは直接に
:<math>\frac{1}{F(p)}H(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{t^n}{n!} H(t)</math>
という意味を持つものと理解できる。

上記のような規則を適用すると、任意の微分方程式を解くことが、純粋に代数的な問題に還元される。

ヘヴィサイドはさらに進んで、 <math>p</math> の分数[[冪乗|冪]]を定義し、演算子法と[[分数階微積分学]]の関係を確立した。

[[テイラー展開]]を用いると、<math>e^{ap}f(t)=f(t+a)</math> なる式も得られるから、これにより演算子法を有限[[差分方程式]]や電気工学の[[群遅延と位相遅延|遅延信号]]の問題にも適用することができる。

==参考文献==
*LF Arbogast,  [https://books.google.co.jp/books?id=ugQAAAAAMAAJ&dq=arbogast&as_brr=1&redir_esc=y&hl=ja ''Du calcul des dérivations''] (Levrault, Strasbourg, 1800).
*Servois [http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Annales de Gergonne] '''5''', 93 (1814).
*Terquem and Gerono, Nouvelles Annales de Mathematiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale '''14''' , 83 (1855) [Some historical references on the precursor work till Carmichael]. 
*[[ジョージ・ブール|G Boole]], [http://gallica.bnf.fr/document?O=N099509  ''A treatise on differential equations''] Chapters 16 and 17 (Mc Millan, 1859). 
*RB Carmichael [https://books.google.co.jp/books?id=f1ADAAAAQAAJ&dq=Carmichael&as_brr=1&redir_esc=y&hl=ja  ''A treatise on the calculus of operations''] (Longman, 1855). 
*[[オリヴァー・ヘヴィサイド|O Heaviside]] [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb37572031d/date  Proc. Roy. Soc. (London)] '''52'''. 504-529 (1893), '''54''' 105-143 (1894). [Original articles]
*JR Carson, [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183486854 Bull. Amer. Math. Soc.] '''32''', 43 (1926).
*JR Carson [http://www.new.dli.ernet.in/cgi-bin/DBscripts/allmetainfor_test.cgi?barcode=3371 ''Electric Circuit Theory and the Operational Calculus''] (Mc Graw Hill, 1926).
*[[ノーバート・ウィーナー|N Wiener]] [http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002270854 Math. Ann.] '''95''', 557 (1926). 
*H Jeffreys [http://www.new.dli.ernet.in/cgi-bin/DBscripts/allmetainfo_test.cgi?barcode=73746 ''Operational Methods In Mathematical Physics''] (Cambridge University Press, 1927). also at [https://archive.org/details/operationalmetho029814mbp   Internet Archive]
*HW March  [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183492106 Bull. Amer. Math. Soc.] '''33''', 311 (1927), '''33''', 492 (1927).  
*EJ Berg [http://www.new.dli.ernet.in/cgi-bin/DBscripts/allmetainfor_test.cgi?barcode=3371 ''Heaviside's Operational Calculus''] (McGrawHill, 1929).
*V Bush, ''Operational Circuit analysis'' (J. Wiley & Sons, 1929). with an appendix by N. Wiener.
*HT Davis, [https://archive.org/details/theoryoflinearop033341mbp  ''The theory of linear operators''] (Principia Press, Bloomington, 1936). 
*NW Mc Lachlan, [http://www.new.dli.ernet.in/cgi-bin/DBscripts/allmetainfo_test.cgi?barcode=42240  ''Modern operational calculus''] (Macmillan, 1941).
*HS Carslaw,   [http://www.new.dli.ernet.in/cgi-bin/DBscripts/allmetainfo_test.cgi?barcode=2962 ''Operational Methods in Applied Mathematics''] (Oxford University Press, 1941). 
*B van der Pol, H Bremmer, ''Operational calculus'' (Cambridge University Press, 1950)
*RV Churchill, ''Operational Mathematics'' (McGraw-Hill, 1958). 
*[[ヤン・ミクシンスキー|J Mikusinski]], ''Operational Calculus'' (Elsevier, Netherlands, 1960).
**{{Cite book|和書|author=ミクシンスキー|authorlink=ヤン・ミクシンスキー|others=[[松村英之]]・[[松浦重武]]訳|year=1985|month=3|title=演算子法|edition=新版|volume=上巻|publisher=裳華房|isbn=4-7853-1044-8|ref=ミクシンスキー1985a}}
**{{Cite book|和書|author=ミクシンスキー|authorlink=ヤン・ミクシンスキー|others=[[松村英之]]・[[松浦重武]]訳|year=1985|month=3|title=演算子法|edition=新版|volume=下巻|publisher=裳華房|isbn=4-7853-1045-6|ref=ミクシンスキー1985b}}
*{{Cite book|和書|author=吉田耕作|authorlink=吉田耕作|year=1982|month=2|title=演算子法　一つの超函数論|series=UP応用数学選書 5|publisher=東京大学出版会|isbn=978-4-13-064065-7|ref=吉田1982}}
**{{Cite book|author=Kosaku Yosida|year=1984|title=Operational Calculus - A Theory of Hyperfunctions|series=Applied Mathematical Sciences, Vol. 55|isbn=0-387-96047-3|publisher=Springer}}
*[[アンドレイ・コルモゴロフ|A.N. Kolmogorov]], A.P. Yushkevich , ''Mathematics of the 19th Century'', (Birkhauser ,1992)
**{{Cite book|和書|others=[[藤田宏]]監訳、[[伊理正夫]]ほか訳|date=2009-11-25|title=19世紀の数学III ―チェビシェフの関数論～差分法―|publisher=朝倉書店|isbn=978-4-254-11743-1|url=http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11743-1/|ref=コルモゴロフほか2009}}

== 関連項目 ==
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*[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]
*[[ミクシンスキーの演算子法]]
*[[ヤン・ミクシンスキー]]
*[[ラプラス変換]]
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*[[微分作用素の表象]]

==外部リンク==
*{{Kotobank|演算子法|2=[[洲之内治男]]}}
*IV Lindell [http://ceta.mit.edu/PIER/pier26/11.9909172jp.Lindell.pdf HEAVISIDE OPERATIONAL RULES APPLICABLE TO ELECTROMAGNETIC PROBLEMS] 
*[http://myreckonings.com/wordpress/2007/12/07/heavisides-operator-calculus/ Heaviside's Operator Calculus]

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