濃度 (数学)のソースを表示

[[数学]]、特に[[集合論]]において、'''濃度'''（のうど、{{lang-en-short|cardinality}} '''カーディナリティ'''）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである<ref name="matsuzaka_2010_6567">{{harvnb|松坂|1968|pp=65–67}}</ref>。集合の濃度は'''[[基数]]''' (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、[[ゲオルク・カントール|カントール]]により初めて[[無限]]集合のサイズが一つではないことが見出された<ref>{{Cite journal |last=Cantor|last2=Cantor |date=1874-01-01 |title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. |url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1874.77.258/html |volume=1874 |issue=77 |pages=258-262 |language=de |doi=10.1515/crll.1874.77.258 |issn=1435-5345}}</ref><ref>{{Cite journal |author=Cantor, Georg|year=1891 |title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigketislehre|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN37721857X_0001 |journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |volume=1 |pages=72-78 |issn=0012-0456}}</ref>。

== 濃度の関係 ==
:集合 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の間に全単射が存在するとき {{math2|''X'' &#8776; ''Y'' }} と書き、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} は濃度が等しいという。
:集合 {{mvar|X}} から集合 {{math|''Y''}} への単射が存在するとき {{math|''X'' &#8830; ''Y''}} と書き、{{mvar|X}} の濃度は {{mvar|Y}} の濃度以下であるという。
:集合 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} について、{{math2|''X'' &#8830; ''Y''}} だが {{math2|''X'' &#8776; ''Y''}} でないとき、{{math2|''X'' &#8826; ''Y''}} と書き、{{mvar|X}} の濃度は {{mvar|Y}} の濃度より小さいという。

シュレーダー=[[ベルンシュタインの定理]]により、{{math2|''X'' &#8830; ''Y''}} かつ {{math2|''Y'' &#8830; ''X''}} なら、{{math2|''X'' &#8776; ''Y'' }} が成り立つ。さらに、[[選択公理]]を仮定すれば、任意の集合 {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} に対して、{{math2|''X'' &#8830; ''Y''}} または {{math2|''Y'' &#8830; ''X''}} が成り立つ。

{{math2|&#124; ''X'' &#124; &#61; &#124; ''Y'' &#124; &hArr; ''X'' &#8776; ''Y'' }} が常に成り立つ集合への数学的対象の割り当てを濃度といい、濃度として割り当てられる数学的対象を[[基数]]という（濃度 {{math2|&#124; ''X'' &#124;}} は {{math2|card(''X''), #''X''}} などとも表記される）。

== 厳密な定義 ==
（カントールによって暗に、[[フレーゲ]]や[[プリンキピア・マテマティカ]]において明確に示されていた）集合 {{mvar|X}} の濃度の最も古い定義は、{{mvar|X}} と[[一対一対応]]のつくすべての集合からなる[[クラス (集合論)|クラス]] {{math|[''X'']}} としての定義である。これは、'''ZFC'''や関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、{{mvar|X}} が空でないならば、[[一対一対応]]のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、{{mvar|X}} を空でない集合としたとき、集合 {{mvar|S}} に {{math2|{''S''} × ''X''}} を対応させる写像を考えることによって、[[宇宙 (数学)|宇宙]]から {{math|[''X'']}} への単射が存在し、{{ill2|サイズの限界|en|Limitation of size}}より、{{math|[''X'']}} は真のクラスである。

; フォン・ノイマンの割り当て
: 選択公理を仮定すると集合 {{mvar|X}} に対し濃度 {{math2|&#124; ''X'' &#124;}} を {{math2|&#124; ''X'' &#124; &#58;&#61; min{α ∈ '''ON''' : &#124;α&#124; &#61; &#124; ''X'' &#124; }}} と定義できる 。
: これをフォン・ノイマンの割り当てという。
; スコットのトリック
: [[正則性公理]]の元、任意のクラスに対し画一的に（そのクラスの部分クラスとなる）集合を割り当てる方法である[[スコットのトリック]]を使うと、 整列可能とは限らない集合 {{mvar|X}} に濃度 {{math2|&#124; ''X'' &#124;}} を以下のように割り当てることができる（詳しくは[[スコットのトリック]]を参照）。
: {{math|&#124; ''X'' &#124; &#58;&#61; {''A'' : &#124; ''A'' &#124; &#61; &#124; ''X'' &#124;}} かつ、任意の集合 {{mvar|B}} に対し「{{math|&#124; ''B'' &#124; &#61; &#124; ''X'' &#124; → rank( ''A'') ≤ rank( ''B'')}}} 」
: どのような定義を採用するにしろ集合の濃度が等しいのは、それらの間に全単射が構成できるちょうどそのときである。

== 様々な集合の濃度 ==
=== 有限集合 ===
有限集合の濃度は自然数を使って表せられる。濃度が''n'' である集合を''n'' 点集合という。

=== 可算集合 ===
{{main|可算集合}}
自然数全体からなる集合の濃度を'''可算無限濃度'''または単に'''可算濃度'''という（古くは'''可付番濃度'''とも呼ばれた）<ref name="matsuzaka_2010_6567" />。通常、<math>\aleph_0</math>（[[アレフ・ゼロ]]）あるいは <math>\mathfrak{a}</math> と表記される。[[א|<math>\aleph</math>]]は[[ヘブライ文字]]のアレフである。濃度が可算無限になる集合を'''[[可算集合|可算無限集合]]'''または単に'''可算集合'''（{{lang-en-short|countable set}}）という<ref name="matsuzaka_2010_7072">{{harvnb|松坂|1968|pp=70–72}}</ref>。たとえば、[[整数]]全体からなる集合、[[有理数]]全体からなる集合はいずれも可算無限集合である<ref>{{harvnb|松坂|1968|pp=72–74}}</ref>。可算無限以下である濃度を'''[[高々可算]]'''な濃度または単に'''可算濃度'''という<ref name="matsuzaka_2010_7072" />。

可算無限濃度には以下の性質がある。
* <math>\aleph_0</math> は極小な無限濃度である。すなわち、<math>\kappa</math> が <math>\aleph_0</math> より小さい濃度ならば、<math>\kappa</math> は有限濃度（すなわち自然数）である。
* 選択公理を仮定すると、<math>\aleph_0</math> は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 <math>\kappa</math> に対して、<math>\aleph_0\leq\kappa</math> が成り立つ。

=== 非可算集合 ===
{{main|連続体濃度|非可算集合}}
'''[[連続体濃度]]'''とは[[実数]]全体からなる集合の濃度である。<math>\aleph</math> あるいは <math>\mathfrak{c}</math> と表記される（[[ベート数]]を使って <math>\beth_1</math> と書くこともできる）。[[カントールの対角線論法]]によって <math>\aleph_0 < \aleph</math> が成り立つことが証明される。[[ユークリッド空間]]をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持つ。さらにはユークリッド空間の上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度である。

連続体濃度の冪濃度は <math>\beth_2</math> あるいは <math>2^\mathfrak{c}</math> などと表記される。ユークリッド空間上の関数全体などはこの濃度を持つ。

== 集合演算と濃度 ==
濃度の間に以下の演算が定義される（詳しくは[[基数#基数演算]]を参照）。

* <math>|X|+|Y|:=|X\sqcup Y|</math> を '''<math>|X|</math> と <math>|Y|</math> の和'''という。 （ただし <math>X\sqcup Y</math> は <math>X</math> と <math>Y</math> の直和 <math>(X\times\{0\})\cup(Y\times\{1\})</math> のこと。）
* <math>|X|\cdot|Y|:=|X\times Y|</math> を '''<math>|X|</math> と <math>|Y|</math> の積'''という。 （ただし <math>X\times Y</math> は <math>X</math> と <math>Y</math> の直積。）
* {{math|&#124; ''X'' &#124;{{sup|&#124; ''Y'' &#124;}} &#58;&#61; &#124; ''X''{{sup|''Y''}}&#124;}} <math>|X|^{|Y|}:=|X^Y|</math> を '''<math>|X|</math> を底、<math>|Y|</math> を指数とする冪'''という。
:（ただし {{mvar|X{{sup|Y}}}} は {{mvar|Y}} から {{mvar|X}} への写像全体。）
このとき以下が成立。

* {{math2|&#124; ''X'' ∪ ''Y'' &#124;+&#124; ''X'' ∩ ''Y'' &#124; &#61; &#124; ''X'' &#124;+&#124; ''Y'' &#124;}}<math>|X\cup Y|+|X\cap Y|=|X|+|Y|</math>
* <math>|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}</math>

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書 |author=松坂和夫 |year=1968<!-- |date=2010-05-14 --> |title=集合・位相入門 |publisher=岩波書店 |isbn=4-00-005424-4 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[基数]]
* [[連続体仮説]]
* [[連続体濃度]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|925|集合の濃度と可算無限・非可算無限}}

{{集合論}}

{{DEFAULTSORT:のうと}}
[[Category:集合論]]
[[Category:基数|*]]
[[Category:無限]]
[[Category:数学に関する記事]]