点推定のソースを表示

{{出典の明記|date=2010年12月}}
{{Expand English|Point estimation|date=2024年5月}}
'''点推定'''（てんすいてい、{{lang-en-short|point estimation}}）とは、[[推計統計学]]において観測データに基づいて未知量に対する良好な[[推定]]（[[推定量]]）と見なせる値（[[統計量]]）を計算する手法とその結果を言う。[[平均]]値・[[中央値]]・[[最頻値]]などが用いられる。尤度関数の最頻値で推定する場合、事前分布がない場合を[[最尤推定]]、事前分布がある場合を[[最大事後確率]]推定という。

通常、推定値は記号の上に「＾」をつける。

== 正規分布の場合 ==
[[正規分布]]の場合、[[平均値]]と[[標準偏差]]の二つのパラメータで分布が表現される。点推定自体は推定方法の規定はないが、正規分布の場合、[[不偏推定]]と[[最尤推定]]で異なる結果になり、基本的には不偏推定を使用する。

; [[不偏推定]]の場合
:推定標準偏差は標本分散ではなく[[不偏分散]]を用いる（記事「[[標準偏差]]」を参照）。標本数をnとすると、推定[[平均]]値と推定標準偏差は以下の式で算出される。
::<math>\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i</math>
::<math>\hat{\sigma} = \sqrt{\frac {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \hat{\mu})^2}{n-1}} </math>
; [[最尤推定]]の場合
: 尤度関数の最頻値で推定するのが最尤推定。n で割った、[[標本分散]]になる。
::<math>\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i</math>
::<math>\hat{\sigma} = \sqrt{\frac {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \hat{\mu})^2}{n}} </math>

母集団が歪んでいる場合など、平均値で対称になっていない場合、平均値を用いるよりも[[中央値]]や[[最頻値]]を用いたほうがその分布の特徴を捉えやすい場合がある。

== ベイズ点推定 ==
[[ベイズ統計学]]（[[ベイズ推定]]）においては、推定問題の答えとして[[事後確率]]分布を得た後、平均値・中央値・最頻値などを点推定とする事が多い。
* [[平均]]値 - [[事後期待値]]
* [[中央値]] - [[事後中央値]]
* [[最頻値]] - [[事後確率最大値]]。[[最大事後確率]]となるものを点推定とする

<!-- == 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}} -->
== 関連項目 ==
* [[推計統計学]]
* [[区間推定]]
* [[順序統計量]]
* [[最大事後確率]]
* [[モーメント (確率論)]]
* [[最尤推定]]
* [[尤度関数]]
* [[尤度方程式]]
* [[不偏推定量]]
* [[確率分布]]
* [[統計量]]
* [[要約統計量]]

{{統計学}}
{{Statistics-stub}}

{{デフォルトソート:てんすいてい}}
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:推定理論]]