無限インパルス応答のソースを表示

'''無限インパルス応答'''（むげんインパルスおうとう、{{lang-en-short|Infinite impulse response, IIR}}）は[[インパルス応答]]のうち無限長の時間においてゼロでない値を返すものである。[[有限インパルス応答]] (FIR) と対比される。

この属性を持つシステムをIIRシステムと呼ぶ。最も単純なアナログIIRフィルタとして[[RC回路|RCフィルタ]]があり、1つの[[抵抗器]] (R) と1つの[[コンデンサ]] (C) で形成される。このフィルタは、[[時定数|RC時定数]]で決定される指数関数的インパルス応答の特性を持つ。他には[[チェビシェフフィルタ]]、[[バターワースフィルタ]]、[[ベッセルフィルタ]]などがある。

FIRフィルタとは異なり、IIRフィルタ設計では、フィルタの出力が明確に定義されない「時刻ゼロ」の場合を注意深く扱う必要がある。IIRフィルタは一般に、FIRフィルタに比較して高速で安価だが、[[バンドパスフィルタ]]としての性能や安定性が劣る。

== IIRフィルタ ==
'''無限インパルス応答フィルタ'''（{{lang-en-short|Infinite impulse response filter}}、'''IIRフィルタ'''）は無限インパルス応答で表現されるフィルタ/[[フィルタ回路]]である。'''巡回形フィルタ'''とも呼ばれる<ref>"フィードバックループが含まれており，このような構造のシステムを IIR ディジタルフィルタまたは巡回形ディジタルフィルタとよぶ" 雛元. (2008). [https://www.ieice-hbkb.org/files/01/01gun_09hen_02m.pdf 2-2 巡回形ディジタルフィルタ]. 電子情報通信学会『知識の森』.</ref>。

=== デジタルIIRフィルタ ===
'''デジタルIIRフィルタ'''はIIRで表現される[[ディジタルフィルタ|デジタルフィルタ]]である。

<math>\ b_{i}</math> を係数とする <math>P</math> 次のフィードフォワードと<math>\ a_{i}</math> を係数とする <math>Q</math> 次のフィードバックをもち、入出力を <math>x[n]</math>・<math>y[n]</math> とする離散時間システムを考える。システムは[[数列|差分方程式]]を用いて次のように表現される。

:<math>
\begin{align}
 a_0 y[n] & = \sum_{i=0}^P b_{i}x[n-i] - \sum_{j=1}^Q a_{j} y[n-j] \\
          & = b_{0} x[n] + b_{1} x[n-1] + \cdots + b_{P} x[n-P]
            - a_{1} y[n-1] - a_{2} y[n-2] - \cdots - a_{Q} y[n-Q]
\end{align}
</math>

移項すると、

:<math>\ \sum_{j=0}^Q a_{j} y[n-j] = \sum_{i=0}^P b_{i}x[n-i]</math>

フィルタの[[伝達関数法|伝達関数]]を見つけるため、上記方程式の両辺の[[Z変換]]を行う。このとき、Z変換の[[Z変換#性質|シフト性]]を利用する。

:<math>\ \sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j} Y(z) = \sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i} X(z)</math>

ここで、伝達関数は次のように定義される。

:<math>
\begin{align}
H(z) & = \frac{Y(z)}{X(z)} \\
     & = \frac{\displaystyle\sum_{i=0}^P b_{i} z^{-i}}{\displaystyle\sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j}}
\end{align}
</math>
これらのデジタルIIRフィルタの設計は、アナログIIRフィルタに基づいてなされてきた。多くの場合、デジタルIIRフィルタを設計するにあたってまずアナログIIRフィルタ（例えば、[[チェビシェフフィルタ]]、[[バターワースフィルタ]]、[[楕円フィルタ]]）を設計し、[[インパルス不変法]]や[[双一次変換]]といった[[離散化]]技法を適用してデジタルに変換する。

== ブロック図の説明 ==
[[画像:IIRFilter2.svg|thumb|250px|単純なIIRフィルタのブロック図]]

右図は典型的なIIRフィルタのブロック図である。<math>z^{-1}</math> ブロックは単位遅延である。係数やフィードバック/フィードフォワード経路の数は実装依存である。

== 安定性 ==
伝達関数により、そのシステムが[[有界入力有界出力安定性|有界入力-有界出力 (BIBO) 安定]]かどうかを判断できる。BIBO安定であるためには、伝達関数の全ての極の絶対値が1未満でなければならない。言い換えれば、全ての極は <math>z</math>-平面上の単位円の中に位置しなければならない。

極は、 <math>H(z)</math> の分母が 0 となるような <math>z</math> の値として定義される。

:<math>\ 0 = \sum_{j=0}^Q a_{j} z^{-j}</math>

明らかに <math>a_{j}\ne 0</math> ならば、極は z-平面の原点に位置しない。これは、[[有限インパルス応答|FIR]]フィルタで常に極が原点に位置し、常に安定しているのと対照的である。

IIRフィルタは、FIRフィルタに比べて遷移域がシャープであることから、FIRフィルタよりも好まれることがある。

== 例 ==
フィルタの伝達関数 ''H'' を次のように定義する。

:<math>H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{1}{1 - a z^{-1}}</math> ここで[[収束半径|ROC]]は <math>a < |z|</math> かつ <math>0 < a < 1</math>

このときの極は ''a'' にあって、安定であり、因果性である。[[時間領域]]の[[インパルス応答]]は次のようになる。

:<math>h(n) = a^{n} u(n)</math>

これは <math>n \geq 0</math> のとき、ゼロ以外の値をとる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[フィルタ回路]]
*[[有限インパルス応答]]
*[[システム解析]]

== 外部リンク ==
* [http://www.bores.com/courses/intro/iir/index.htm The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course - Introduction to DSP]

{{DEFAULTSORT:むけんいんはるすおうとう}}
[[Category:信号処理]]
[[Category:制御理論]]
[[Category:無限]]