無限公理のソースを表示

'''無限公理'''（むげんこうり、{{Lang-en-short|axiom of infinity}}）とは[[公理的集合論]]における[[ZF公理系]]を構成する[[公理]]の一つで、「[[無限集合]]の存在」を主張するものである。[[エルンスト・ツェルメロ]]によって1908年に初めて提示された。

== 定義 ==
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。

:空集合を要素とし、任意の要素 ''x'' に対して ''x'' &cup; {''x''} を要素に持つ集合が存在する：
::<math>\exists A(\varnothing\in A\wedge \forall x\in A(x\cup\{x\}\in A))</math> 

== 解釈と帰結 ==
上記定義では「[[無限]]」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。

まず定義中の集合 <math>A</math> は以下の性質を満たすことを確認できる。

:* <math>\varnothing\in A</math> （空集合 <math>\varnothing</math> は <math>A</math> の要素である）
:* <math>\varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\} \in A</math> （「空集合 <math>\varnothing</math> を要素にもつ集合」は <math>A</math> の要素である）
:* <math>\{\varnothing\} \cup \{\varnothing \cup \{\varnothing\}\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} \in A</math> （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は <math>A</math> の要素である）
:* （以下同様に繰り返す）

各手続きで得られた集合を要素とする集合を <math>B:=\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}, \cdots\}</math> とおくと、 <math>B</math> は <math>A</math> の[[部分集合]]である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 <math>B</math> は有限集合であり、<math>A \neq B</math>である。なぜならば定義により <math>B \cup \{B\} \in A</math> であるが、<math>B \cup \{B\} \notin B</math> となるからである。一方 <math>A</math> が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで <math>B</math> が <math>A</math> よりも多くの要素をもつことができてしまう。 
従って <math>A</math> は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。

上記の手続きは[[ペアノの公理]]における[[自然数]]の構成方法と同様である。[[ZFC公理系]]において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（[[可算集合]]）

== 独立性 ==
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。

== 関連項目 ==
* [[公理的集合論]]
* [[ペアノの公理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Axiom of Infinity|urlname=AxiomofInfinity}}

{{集合論}}
{{DEFAULTSORT:むけんこうり}}
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