無限遠直線のソースを表示


'''無限遠直線'''（むげんえんちょくせん、Line at infinity）は、[[幾何学]]または[[位相幾何学]]における{{仮リンク|アフィン平面|en|Affine plane|label=実アフィン平面}}に付加される[[直線]]である。位相幾何学に[[閉包 (位相空間論)|閉包性]]を与え、[[射影平面]]の{{仮リンク|接続関係 (幾何学)|en|Incidence (geometry)|label=接続関係}}の性質の特殊な場合を例外なく取り扱うために使われる。無限遠線、無窮遠直線、無窮遠線、無窮線、あるいは'''理想線'''（{{Lang|en|ideal line}}<ref name=":0">{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Line at Infinity |url=http://mathworld.wolfram.com/LineatInfinity.html |website=mathworld.wolfram.com |publisher=Wolfram Research |access-date=28 December 2016 |language=en}}</ref>）とも言われる<ref>{{Cite book|和書 |title=図表及ビ図計算 |year=1938 |publisher=弘道館 |pages=143-145 |author=[[渡辺義勝]] |id={{NDLJP|1875780}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=数学之基礎 上 |year=1925 |publisher=[[積善館]] |page=145 |author=[[米山国蔵]] |id={{NDLJP|925124}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |year=1915 |publisher=[[山海堂 (出版部)|山海堂]] |page= |doi=10.11501/1082037 |translator=[[小倉金之助]] |author=[[ウジェーヌ・ルーシェ]],[[シャルル・ド・コンブルース]] |pages=62,319,459}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学 |year=1887 |publisher=大平俊章等 |page=77 |author=ウヰルソン |translator=林田雷次郎 |id={{NDLJP|828420}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |author=中川銓吉 |author-link=中川銓吉 |title=近世綜合幾何学演習 |publisher=[[共立出版]] |year=1948 |id={{NDLJP|1063414}} |page=159}}</ref>。ポンスレなどによって研究された<ref>{{Cite book|和書 |title=輓近高等数学講座 第2巻 |year=1933 |publisher=共立社 |page=153 |author=[[高木貞治]] |id={{NDLJP|1078175}}}}</ref>。

== 幾何学的構築 ==
[[アフィン幾何学]]や[[ユークリッド幾何学]]においては[[平行線]]は交わらないとされるが、[[射影幾何学]]においては、2つの[[直線]]は実平面で常に交わる。特に平行線は[[無限遠点]]で交わる。すべての無限遠点が存在する直線を無限遠直線という<ref>{{コトバンク |word=無限遠直線}}</ref>。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の[[傾き (数学)|傾き]]のみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面ではこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は[[閉曲線]]である。無限遠直線もまた自身と交叉するため閉曲線である。 

== 位相幾何学的観点 ==
無限遠直線はアフィン平面を囲う[[円 (数学)|円]]とみなすこともできる。しかし円上の点の[[対蹠点]]は自身と一致する。  アフィン平面と無限遠直線は[[実射影平面]]<math>\mathbb{R}P^2</math>を成す。

[[双曲線]]は2つの[[漸近線]]方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる<ref>{{Cite web |url=https://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/Slides/handout_GakumonNyumonKouza_2011.pdf |title=学問入門講座 |access-date=2024-8-28 |publisher=[[青山学院大学]] 理工学部 物理・数理学科}}</ref>。同様に[[放物線]]も軸方向の無限遠点で自己交叉し、閉曲線とみなすことができる。放物線と無限遠直線は[[接する]]<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |pages=53,99 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1063410}}</ref>。 

[[複素射影平面]]上の無限遠直線の類似物は、複素[[射影直線]]である。2次元[[複素数空間]]上に[[リーマン球面]]を付加し4次元[[コンパクト空間]]を成すという点で、位相幾何学的には無限遠直線と全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は[[向き付け可能性|向き付け可能]]である。

== 歴史 ==
複素無限遠直線は19世紀幾何学でよく使われた。円を無限遠直線上のある二点（[[虚円点]]）を通る[[円錐曲線]]として扱うことに応用された。

[[方程式]]''X''<sup>2</sup> + ''Y''<sup>2</sup> = 0は、円の方程式から[[多項式の次数|低次]]の項を除いたものである。通常、射影幾何学においては{{仮リンク|同次座標系|en|Homogeneous coordinates}}[''X:Y:Z'']が採択される。

無限遠直線は、''Z'' = 0の場合である<ref>{{Cite web |url=https://www.ipc.tohoku-gakuin.ac.jp/atsushi/edu/geom_1/0729a.pdf |title=射影平面と双対性 |access-date=2024-8-28}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=座標幾何学 (共立全書 ; 第40) |year=1952 |publisher=[[共立出版]] |pages=75,77,81,89,111 |author=[[森本清吾]] |doi=10.11501/1372006}}</ref>。つまり、低次の項をすべて除外した式を表す。

すべての円は無限遠直線上の[[虚円点]]を通る<ref>{{Cite book |title=シンデレラ: 幾何学のためのグラフィックス |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AC%E3%83%A9/ClNmPJSArqwC?hl=ja&gbpv=1&dq=%22%E8%99%9A%E5%86%86%E7%82%B9%22&pg=PA55&printsec=frontcover |publisher=Springer Science & Business Media |date=2003-11-26 |isbn=978-4-431-70966-4 |language=ja |first=J. |last=リヒター-ゲバート |first2=U. H. |last2=コルテンカンプ}}</ref>。

: ''I'' = [1:''i'':0] , ''J'' = [1:&#x2212;''i'':0].

これらは当然複素点で、任意の同次座標に存在する。ただし、射影直線は{{仮リンク|対称変換群|en|Symmetry group}} を持つため、これは特別ではない。結論としては、円を{{仮リンク|円錐曲線の決定|en|Five points determine a conic|label=5点で決定される円錐曲線}}としてみなすことができるということである。

== 初等幾何学 ==
{{ill2|三角形幾何学|de|Dreiecksgeometrie}}では、無限遠直線は様々な特徴づけが成される。三角形の三[[辺]]を{{Mvar|a,b,c}}として、無限遠直線は[[三線座標]]{{Math|(''p'' ,''q'' ,''r'')}}では{{Math|1=''a p'' + ''b q'' + ''c r'' = 0}}、[[重心座標]]{{Math|(''p'' ,''q'' ,''r'')}}では{{Math|1=''p'' + ''q'' + ''r'' = 0}}と表される<ref name=":0" /><ref>{{Cite book|和書 |edition=初版 |title=重心座標による幾何学 |publisher=[[現代数学社]] |date=2014 |location=京都市 |isbn=978-4-7687-0437-0 |editor-first=信 |editor-last=一松 |page=20 |editor-link=一松信}}</ref>。[[幾何中心|重心]]の[[三線極線]]としても定義できる<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Trilinear Pole |url=http://mathworld.wolfram.com/TrilinearPole.html |publisher=[[MathWorld]]—A Wolfram Web Resource. |access-date=2024-8-28}}</ref>。[[外接円]]と[[シュタイナー楕円]]はそれぞれ[[等角共役]]、[[等長共役]]で無限遠直線に移る。一般に[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]の自身による平行弦共役は無限遠直線に移る<ref>{{Cite web |url=https://nnn.ed.jp/about/club/kenkyubu/pdf/2022/kiyou_07.pdf |title=等角共役とシムソン線の幾何学 |access-date=2024-8-28 |publisher=角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部 |author=[[齋藤輝]]}}</ref>。

円による[[反転幾何学|反転]]によって、無限遠直線は、基準円の中心に映る。また、円の中心の[[極と極線|極線]]は無限遠直線である。

== 関連項目 ==

* [[楕円幾何学]]
* [[無限超平面|無限遠超平面]]
* [[平行線公準]]
* [[無限遠平面]]
* [[無限遠点]]

== 出典 ==
{{Reflist}}{{デフォルトソート:むけんえんちよくせん}}
[[Category:無限]]
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:直線]]
[[Category:数学に関する記事]]