無限降下法のソースを表示

[[数学]]における'''無限降下法'''（むげんこうかほう、{{Lang-en-short|infinite descent}}, {{Lang-fr-short|méthode de descente infinie}}、{{Lang-la-short|la descente infinie}}<ref>{{Harvtxt|高瀬|2019|p=130}}</ref>）とは、[[自然数]]が[[整列集合]]であるという性質を利用した、[[証明 (数学)|証明]]の一手法である。[[背理法]]の一種であり、[[数学的帰納法]]の一型とも見なせる。17世紀の数学者[[ピエール・ド・フェルマー]]によって始められたとされ、彼はこの証明法を好んで用いた。最も古い使用例は『[[ユークリッド原論|原論]]』にある<ref name=":1">{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/general-diophantine-equations-fermats-method-of/|title=Fermat's Method of Infinite Descent {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|website=brilliant.org|language=en-us|access-date=2019-12-10}}</ref>。典型的な例は『原論』第7巻 命題31の証明で、[[ユークリッド]]は「すべての合成数は素数で割り切れる（『原論』の用語では「通約できる」）」ことを無限降下法で示した<ref name=":0">{{Cite web|url=https://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsInfiniteDescent.shtml|title=What Is Infinite Descent|website=www.cut-the-knot.org|access-date=2019-12-10}}</ref>。

== 概要 ==
自然数に関する[[命題]]の証明に威力を発する場合があり、典型的には[[ディオファントス方程式|不定方程式]]に自然数解が存在しないことを示す際に用いられる。具体的には、自然数解が存在すると仮定し、ひとつの解から（ある意味で）より「小さい」別の自然数解が構成できることを示すのである。その構成法より、小さい解を次々に得ることができるはずであるが、自然数の（空集合でない）部分集合には最小の元があるから、これは[[矛盾]]である。よって、仮定が間違っていたのであり、解が存在しないことが示されたことになる。小さい解を次々に得る様子が「無限に降下」していくように感じられることから、「無限降下法」と呼ばれる。

この証明は次のように書き換えることもできる。解が存在するとすると、最も「小さい」ものが存在する。先の構成法から、より小さいものが得られるが、これは最も「小さい」という仮定に矛盾する。よって、解は存在しない。

この証明のポイントは、最も「小さい」ものが存在するはずの、性質の良い「大小関係」を考えることである。必ずしも解そのものの大小関係である必要はなく、解に対してある自然数を対応させる[[関数 (数学)|関数]]の値の大小関係であれば十分である。

== 証明の例 ==
=== 2の平方根の無理性 ===
[[2の平方根]]が[[無理数]]であることは古くから知られていたが、その証明を無限降下法で表現することもできる。2の平方根が[[有理数]]であると仮定すると、2つの自然数 ''p'', ''q'' を用いて
{{Indent|<math>\sqrt{2} = \frac{p}{q}</math>}}
と表せる。平方して分母を払うと
{{Indent|<math>2q^2 = p^2\,</math>}}
を得る。よって ''p'' は偶数である。''p'' = 2''P'' とすると、''P'' も自然数であって
{{Indent|<math>2q^2 = 4P^2\,</math>}}
となる。両辺の2を払って
{{Indent|<math>q^2 = 2P^2\,</math>}}
を得る。よって ''q'' も偶数である。''q'' = 2''Q'' とすると、
{{Indent|<math>\sqrt{2} = \frac{P}{Q}</math>}}
であるから、{{math|''p'' > ''P'', ''q'' > ''Q''}} により分数表示としてより小さなものが見付かったことになる。この手続きは何度でも繰り返すことができるから、いくらでも小さなものを得ることができる。しかし、自然数の範囲では、それは不可能なはずである。したがって、仮定が誤りだったのであり、2の平方根は無理数である。

=== ある不定方程式 ===
方程式
{{Indent|<math>a^2+b^2=3(s^2+t^2)\,</math>}}
が自明な解 ''a'' = ''b'' = ''s'' = ''t'' = 0 以外に整数解を持たないことを、無限降下法で証明できる。非自明な整数解 (''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>) が存在すると仮定すると、
{{Indent|<math>a_1^2+b_1^2=3(s_1^2+t_1^2)\,</math>}}
より ''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''b''<sub>1</sub><sup>2</sup> は 3 の倍数である。平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 であるから、''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub> ともに 3 の倍数でなければならないことが分かる。そこで、''a''<sub>1</sub> = 3''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>1</sub> = 3''b''<sub>2</sub> とおくと、
{{Indent|<math>s_1^2+t_1^2=3(a_2^2+b_2^2)\,</math>}}
となる。すなわち、新しい解 (''s''<sub>1</sub>, ''t''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''b''<sub>2</sub>) を得た。4つの数の和について
{{Indent|<math>|a_1|+|b_1|+|s_1|+|t_1|>|s_1|+|t_1|+|a_2|+|b_2|\,</math>}}
であるから、新しい解の方が小さい。こうして次々に「小さい」解を得ることができるが、これは矛盾である。したがって、方程式は非自明な解を持たない。

== 歴史 ==
フェルマーは、無限降下法をしばしば「私の方法」と呼び、この方法によって数々の命題を証明したと主張した。彼は詳しい証明をほとんど残していないが、『[[算術 (書物)|算術]]』への45番目の書き込みにおいて、唯一完全に近い証明を残している<ref>{{Harvtxt|足立|1986|pp=156-159}}</ref><ref>{{Harvtxt|足立|2006|pp=93-95, 99-101}}</ref>。ここで彼が証明したことは、「三辺の長さが有理数である直角三角形の面積は平方数にならない」という定理であり、言い換えると「1 は[[合同数]]ではない」ということである。この証明中に、不定方程式
''x''<sup>4</sup> - ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>2</sup>
が非自明な整数解を持たないこと（これより[[フェルマーの最終定理]]の ''n'' = 4 の場合が導かれる）を、無限降下法によって示している。

フェルマーはまた、友人カルカヴィへの手紙の中で、「4 で割って 1 余る[[素数]]が[[二個の平方数の和]]で表せる」という命題を「[[二個の平方数の和|直角三角形の基本定理]]」と呼び、この命題を無限降下法で示したと述べた{{efn|フェルマーは以下のように述べた。
{{Indent|「4の倍数よりも1だけ大きい素数はどれも二つの平方数で作られる」ということを証明しなければならなくなったとき，たいへんな苦境に陥った<ref>{{Harvtxt|高瀬|2019|pp=129-135}}</ref>．}}}}。フェルマーの語る証明の概略はおおよそ次の通りである。
{{Indent|もし、4 で割って 1 余る素数のうち、二個の平方数の和で書けないものがあるとすると、それより小さいもので、同じ性質を持つものを構成することができる。この構成法により、次々に小さなものを得ることができる。これは矛盾である。}}
無限降下法は、典型的には「解が存在しない」などの否定的命題の証明に用いられるが、このように肯定的命題にも用いられる<ref>詳しい証明は、例えば{{Harvtxt|シャーラウ|オポルカ|1994|loc=第2章}}にある。</ref>。

フェルマー以後も、無限降下法の考えはしばしば用いられている。たとえば、[[楕円曲線]]の[[有理点]]のなす[[群 (数学)|群]]が[[有限生成アーベル群]]であることを主張する[[モーデルの定理]]の証明には、有理点の高さに関する、無限降下法と似た議論が用いられる<ref>{{Harvtxt|シルヴァーマン|テイト|2012|loc=3.1 節}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author=足立恒雄|authorlink=足立恒雄
|date=1986-06
|title=フェルマーを読む
|publisher=[[日本評論社]]
|isbn=978-4-535-78153-5
|ref={{Harvid|足立|1986}}
}}
*{{Cite book|和書
|author=足立恒雄
|date=2006-09
|title=フェルマーの大定理　整数論の源流
|series=ちくま学芸文庫 ア24-1 Math & Science
|publisher=筑摩書房
|isbn=978-4-480-09012-6
|ref={{Harvid|足立|2006}}
}}
*{{Cite book|和書
|last=シャーラウ
|first=W.
|last2=オポルカ
|first2=H.
|translator=志賀弘典
|date=1994-11
|title=フェルマーの系譜　数論における着想の歴史
|publisher=日本評論社
|isbn=978-4-535-78213-6
|ref={{Harvid|シャーラウ|オポルカ|1994}}
}} - 注記：英語版 ''From Fermat to Minkowski : lectures on the theory of numbers and its historical development'' (New York : Springer, 1985)の翻訳。
*{{Cite book|和書|first=J.H.|last=シルヴァーマン|first2=J.|last2=テイト|others=足立恒雄・木田雅成・小松啓一・田谷久雄 共訳|date=2012-07|title=楕円曲線論入門|publisher=丸善出版|isbn=978-4-621-06453-5|ref={{Harvid|シルヴァーマン|テイト|2012}}}} - 注記：原著 ''Rational points on elliptic curves'' (New York ; Tokyo : Springer-Verlag, 1992)の訳. 第2版謝辞(1994.6)あり。
*{{Cite book|和書
|author=高瀬正仁|authorlink=高瀬正仁
|date=2019-01
|title=フェルマ　数と曲線の真理を求めて
|series=双書・大数学者の数学 17
|publisher=現代数学社
|isbn=978-4-7687-0500-1
|ref={{Harvid|高瀬|2019}}
}}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=InfiniteDescent|title=Infinite descent}}
* {{PlanetMath|urlname=ExampleOfFermatsLastTheorem|title=Example of Fermat's last theorem}}

== 関連項目 ==
*[[背理法]]
*[[数学的帰納法]]

{{DEFAULTSORT:むけんこうかほう}}
[[Category:数論]]
[[Category:証明法]]
[[Category:数学に関する記事]]