熱核のソースを表示

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[[数学]]の特に[[熱伝導]]や[[拡散]]の研究に現れる'''熱核'''（ねつかく、{{Lang-en-short|heat kernel}}）とは、ある適切な[[境界条件]]を課された特定の領域上での[[熱方程式]]（[[:en:Heat equation|Heat equation]]）に対する[[基本解]]である。[[ラプラス作用素]]の[[スペクトル理論|スペクトル]]の研究においても重要な道具の一つであり、したがって[[数理物理学]]の分野を通して有用な概念である。熱核は、境界がある特定の温度（通常はゼロ）に固定された領域内のある点に単位熱源が時間 ''t''&nbsp;=&nbsp;0 に置かれた際の、その領域全体での[[温度]]変化を表現するものである。

次のような ''d''-次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''d''</sup> の熱核が、最も有名である。
:<math>K(t,x,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}} e^{-|x-y|^2/4t}. \,</math>
これは、すべての ''t''&nbsp;>&nbsp;0 および ''x'',''y''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''d''</sup> に対して、次の熱方程式
:<math>\frac{\partial K}{\partial t}(t,x,y) = \Delta_x K(t,x,y)\,</math>
の解となる。ただし初期条件は
:<math>\lim_{t \to 0} K(t,x,y) = \delta(x-y)=\delta_x(y)</math>
で与えられる。ここで δ は[[ディラックのデルタ関数]]で、この極限は[[シュワルツの超関数|シュワルツの超函数]]の意味での極限である。すなわち、コンパクトな[[関数の台|台]]を持つなめらかなすべての函数 φ に対して
:<math>\lim_{t \to 0}\int_{\mathbf{R}^d} K(t,x,y)\phi(y)\,dy = \phi(x) </math>
が成り立つ。

'''R'''<sup>''d''</sup> 内のより一般の領域 Ω について、上記のような陽的な定式化は一般に可能なものではない。次に述べる円板あるいは正方形領域の簡単な場合はそれぞれ、[[ベッセル函数]]と[[テータ函数]]を含むものである。しかし、熱核は（[[ディリクレ問題]]に対しては）任意の領域上で ''t'' > 0 に対して依然として存在し、[[滑らかな関数|滑らか]]である。実際、境界が十分正則であるような任意の[[リーマン多様体]]上で、そのような熱核は存在する。より正確に言うと、そのような一般の領域におけるディリクレ問題に対する熱核は、次の初期値境界値問題の解として与えられる。

:<math>\frac{\partial K}{\partial t}(t,x,y) = \Delta K(t,x,y) \text{ for all } t>0 \text{ and } x,y\in\Omega</math>
:<math>\lim_{t \to 0} K(t,x,y) = \delta_x(y)\text{ for all } x,y\in\Omega</math>
:<math>K(t,x,y) = 0, \quad x\in\partial\Omega \text{ or } y\in\partial\Omega.</math>

このような場合に、任意の領域上での熱核の正式な表現を導出することは、困難ではない。実際、ある連結領域（あるいは境界を伴う多様体）''U'' でのディリクレ問題を考える。そのラプラシアンに対するディリクレ問題の[[固有値]]を λ<sub>''n''</sub> とする。すなわち、
:<math>\left\{
\begin{array}{ll}
\Delta \phi + \lambda \phi = 0 & \text{in} \ U\\
\phi=0 & \text{on}\ \partial U
\end{array}\right.
</math>
が成立する。ここで φ<sub>''n''</sub> はそれらの固有値に対応する[[固有函数]]であり、[[Lp空間|L<sup>2</sup>(''U'')]] において正規直交化されている。このとき、逆ディリクレラプラシアン Δ<sup>−1</sup> は[[コンパクト作用素|コンパクト]]かつ[[自己共役作用素|自己共役]]であり、したがって[[スペクトル定理]]からそのような固有値は
:<math>0 < \lambda_1 < \lambda_2\le \lambda_3\le\cdots,\quad \lambda_n\to\infty </math>
を満たすものとなる。このとき、熱核は次のように表現される：
{{NumBlk|:|<math>K(t,x,y) = \sum_{n=0}^\infty e^{-\lambda_n t}\phi_n(x)\phi_n(y).</math>|{{EquationRef|1}}}}
この級数を和の符号の下で形式的に微分すれば、熱方程式を満たすものであることが確かめられる。しかし、この級数の収束や正則性といった問題は、また慎重に考える必要がある。

熱核はまた、しばしば対応する[[積分変換]]と関連付けて考えられる。そのような積分変換は、コンパクトな台を持つなめらかな φ に対して
:<math>T\phi = \int_\Omega K(t,x,y)\phi(y)\,dy </math>
のように定義される。スペクトル写像定理によって、次のような ''T'' の表現を得ることが出来る。
:<math>T = e^{t\Delta}.</math>

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|熱核記号|en|Heat kernel signature}}
* [[ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数]]
* {{仮リンク|メーラー核|en|Mehler kernel}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{Citation | last1=Berline | first1=Nicole | last2=Getzler | first2=E. | last3=Vergne | first3=Michèle | title=Heat Kernels and Dirac Operators | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | year=2004}}
* {{Citation | last1=Chavel | first1=Isaac | title=Eigenvalues in Riemannian geometry | publisher=[[:en:Academic Press|Academic Press]] | location=Boston, MA | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-170640-1 | mr=768584 | year=1984 | volume=115}}.
* {{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-0772-9 | year=1998}}
* {{Citation | last1=Gilkey | first1=Peter B. | title=Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem | url=http://www.emis.de/monographs/gilkey/ | isbn=978-0-8493-7874-4 | year=1994}}
* {{Citation | last1=Grigor'yan | first1=Alexander | title=Heat kernel and analysis on manifolds | url=https://books.google.co.jp/books?id=X7QQcVa2EWsC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=AMS/IP Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-8218-4935-4 | mr=2569498 | year=2009 | volume=47}}

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