熱的ド・ブロイ波長のソースを表示

統計力学において、'''熱的ド・ブロイ波長'''（ねつてきド・ブロイはちょう、{{lang-en-short|thermal de Broglie wavelength}}）、または'''熱的波長'''（{{lang-en-short|thermal wavelength}}）とは、ある温度における粒子の量子力学的な広がりの度合いを表す特性長<ref name="#1">[[#suzuki_fujita2008|鈴木、藤田（2008）、16章]]</ref><ref>[[#huang1987|Kerson Huang (1987), chapter.8]]</ref>。対象とする[[系 (自然科学)|系]]が[[古典統計力学]]で扱えるか、または[[量子統計力学]]の適用が必要かを示す指標となる。粒子の質量が軽く、温度が低温であるほど、熱的ド・ブロイ波長は広がり、量子力学的性質が顕著となる。熱的ド・ブロイ波長が粒子間の平均距離に近づくと、系を古典統計力学で扱うことはできず、量子統計力学の適用が必要となる。[[ボース気体]]では、熱的ド・ブロイ波長が平均粒子間距離に近づく[[温度の比較|極低温]]まで冷却していくと、各粒子の[[波動関数]]が重なり始め、[[ボース＝アインシュタイン凝縮]]と呼ばれる量子的な[[相転移]]現象が生じる。

==概要==
[[物質波]]の理論では、運動量 {{mvar|p}} をもつ量子力学粒子は[[ド・ブロイ波長]]
:<math>
\lambda=\frac{h}{p}
</math>
をもつ波として、振る舞う。但し、{{mvar|h}}は[[プランク定数]]である。

他方、古典力学的な[[自由粒子]]からなる[[熱平衡状態]]の[[理想気体]]では、粒子の運動量は古典統計力学にしたがって熱的に分布する。相互作用のない自由粒子では、粒子の質量を {{mvar|m}} とすると、そのエネルギー {{mvar|&epsilon;}} は運動量ベクトル {{math|''{{mathbf|p}}'' {{=}} (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')}} によって、
:<math>
\epsilon=\frac{p^2}{2m}=\frac{p_x^{\, 2}+p_y^{\, 2}+p_z^{\, 2}}{2m}
</math>
で与えられる。
理想気体が温度 {{mvar|T}} の熱平衡状態にあると、{{mvar|&epsilon;}} の[[熱平均]]は古典統計力学の[[エネルギー等分配則]]より、
:<math>
\langle \epsilon \rangle =\frac{3}{2}k_BT
</math>
を満たす。但し、{{math|''k''<sub>B</sub>}} は[[ボルツマン定数]]である。このとき、運動量は
:<math>
\sqrt{ \langle p^2 \rangle} =\sqrt{3mk_BT}
</math>
の大きさの[[熱揺らぎ]]を持った値となる。したがって、{{math|''k''<sub>B</sub>''T''}} 程度のエネルギーを持つ粒子における[[波動関数]]の広がりを表す指標として、熱的ド・ブロイ波長が
:<math>
\lambda_T=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}
</math>
で定義される。ここで分母の根号内の因子 {{mvar|&pi;}} は単に慣習的なものである。
熱的ド・ブロイ波長は質量が小さいほど長く、また温度が低いほど広がる。例えば、ボース＝アインシュタイン凝縮の実験で用いられる[[ルビジウム|ルビジウム87]]原子（<sup>87</sup>Rb）では、室温（300[[ケルビン|K]]）では約10[[ピコメートル|pm]]であり、原子の大きさである約100pmより小さいのに対し、[[レーザー冷却]]の反跳限界温度（200[[温度の比較|nK]]）まで冷却すると、約0.4[[マイクロメートル|&micro;m]]にまで広がる<ref name="#2">[[#kuga2002|久我（2002）、1章]]</ref>。

==古典統計力学と適用限界==
{{see also|ザックール・テトローデ方程式}}
古典統計力学において、[[自由粒子]]からなる[[理想気体]]では、[[分配関数]]や分配関数から導かれる[[エントロピー]]は熱的ド・ブロイ波長を用いて表すことができる<ref name="#3">[[#greiner1997|W. グライナー（1997）、1章]]</ref><ref name="#4">[[#ishihara_izumida2014|石原、泉田（2014）、1章]]</ref>。

質量を {{mvar|m}} とする自由粒子からなる理想気体が温度 {{mvar|T}} の熱平衡状態にあるとする。粒子数を {{mvar|N}} 個、系の体積を{{mvar|V}}とすると、[[カノニカル分布]]での分配関数は
:<math>
Z(T,V,N)= \frac{V^N}{N!} \biggl( \frac{2\pi mk_BT}{h^2} \biggr )^{3N/2}
</math>
で与えられる。これは熱的ド・ブロイ波長を用いて
:<math>
Z(T,V,N)= \frac{V^N}{N! \lambda_T^{3N}}
</math>
と表すことができる。このとき、[[ヘルムホルツの自由エネルギー]] {{math|''F''{{=}}&minus;''k''<sub>B</sub>''T'' ln ''Z''}} から、エントロピーは
:<math>
S(T,V,N)=-\left. \frac{\partial F}{\partial T} \right |_{V, N}= Nk_B \left \{ \frac{5}{2}+\ln{\biggl (\frac{V}{N\lambda_T^3} \biggl )} \right \}
</math>
と求まる。 対数関数の項の中に現れる {{math|''v''{{=}}''V''/''N''}} は１粒子当たりの体積であり<ref group="注釈">その逆数は[[数密度]] {{math|''n''{{=}}''N''/''V''}} である</ref>、{{math|''v''}}と 熱的ド・ブロイ波長の3乗 {{math|&lambda;<sub>T</sub><sup>3</sup>}}の比は実現可能な微視的状態の数に対応している<ref name="#3"/><ref name="#1"/>。

このエントロピーは温度とともに減少し、やがては負の値をとり、[[絶対零度]]で負の無限大となる。これは絶対零度でエントロピーがゼロとなるという[[熱力学第3法則]]に反する。エントロピーがゼロとなるのは、対数関数の項が正から負となる
:<math>
\frac{v}{\lambda_T^{\,3}}=\frac{V}{N\lambda_T^{\,3}}  \sim 1
</math>
付近である。これは熱的ド・ブロイ波長が
:<math>
 l=v^{1/3}=\biggl (\frac{V}{N} \biggr )^{1/3} 
</math>
で定まる平均粒子間距離 {{mvar|l}} に近づく低温では、古典統計力学の適用限界となり、量子統計力学の適用が必要となることを示唆している<ref name="#4"/>。

==ボース＝アインシュタイン凝縮==
{{main|ボース＝アインシュタイン凝縮}}
熱的ド・ブロイ波長は、量子力学的な[[相転移]]現象であるボース＝アインシュタイン凝縮が生じる条件を特徴づける<ref name="#2"/>。
ボース粒子の集団であるボース気体では、転移温度以下で[[巨視的]]な個数のボース粒子が最低エネルギーの量子状態に落ち込むボース＝アインシュタイン凝縮を起こす。ボース粒子が従う[[ボース統計]]では、[[同種粒子]]は区別できず、任意個の粒子が同じエネルギー状態をとることができる。極低温でボース気体が熱的ド・ブロイ波長が平均原子間距離に近づくと、各粒子の[[波動関数]]が互いに重なり始める。このとき、系のボース粒子は交換に対して波動関数を対称にしようと[[相空間]]の同じ場所に凝縮する。ボース＝アインシュタイン凝縮が起きると、ボース粒子の集団は一つの波動関数で記述され、[[コヒーレンス|コヒーレント]]に振る舞う。

理想ボース気体の一様な系では、ボース＝アインシュタイン凝縮が起きる条件は粒子数密度 {{math|''n''{{=}}''N''/''V''}}  と熱的ド・ブロイ波長により、
:<math>
n \lambda_T^{3} \geq \zeta (3/2)=2.612\cdots
</math>
と表すことができる。但し、{{math|''&zeta;''(''x'')}} は[[リーマンゼータ関数]]である。
:<math>
\rho=n \lambda_T^{3} 
</math>
で定義される {{mvar|&rho;}} は位相空間密度と呼ばれ、位相空間密度が1程度の[[オーダー (物理学)|オーダー]]となるときにボース＝アインシュタイン凝縮が起きることを表している。この条件は {{math|''l''{{=}}''n''<sup>-1/3</sup>{{=}}''v''<sup>1/3</sup>}} で与えられる平均原子間距離より、熱的ド・ブロイ波長が小さいことに対応する。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |和書
|title= 統計物理学
|author1= A. ISHIHRA
|authorlink1=石原明
|others=和達三樹、小島穣、原啓明、豊田正（訳）
|publisher=共立出版
|year=1980
|ref=ihishara1980}}
*{{Cite book |和書
|title= レーザー冷却とボーズ凝縮
|author1=久我隆弘
|authorlink1=久我隆弘
|series=岩波講座 物理の世界 さまざまな物質系〈5〉
|publisher=岩波書店
|year=2002
|ref=kuga2002 }}
* {{Cite book |和書
|title= 熱力学・統計力学
|author1= W. グライナー
|author2= H. シュテッカー
|author3= L. ナイゼ
|others= 伊藤伸泰、青木圭子（訳）
|series =グライナー物理テキストシリーズ
|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京
|year=1997|ref=greiner1997}}
*{{Cite book |和書
|title= 統計熱力学の基礎
|author1= 鈴木彰
|authorlink1=鈴木彰
|author2= 藤田重次
|authorlink2=藤田重次
|publisher=共立出版
|year=2008
|ref=suzuki_fujita2008 }}
*{{Cite book |和書
|title=量子統計力学―マクロな現象を量子力学から理解するために―  
|author1=石原純夫
|authorlink1=石原純夫
|author2=泉田渉
|authorlink2=泉田渉
|series=フロー式 物理演習シリーズ
|publisher=共立出版
|year=2014
|ref=ishihara_izumida2014}}
*{{Cite book |
|title= Statistical Mechanics 
|author1= Kerson Huang
|publisher=John Wiley & Sons
|year=1987
|edition=2nd
|ref=huang1987 }}

{{DEFAULTSORT:ねつてきとふろいはちよう}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]