熱的残存粒子のソースを表示

{{暫定記事名|date=2020年8月}} 
'''熱的残存粒子''' (ねつてきざんぞんりゅうし, thermal relic) とは、[[現代宇宙論]]において、[[初期宇宙]]においては[[熱平衡]]にあったものの、[[宇宙の年表|宇宙の歴史]]のある時点において相互作用が実効的に無視できるようになり、それ以降自由粒子として振る舞うような粒子の総称である<ref name="Matsubara39"/><ref name="Profumo34-35">Profumo, p. 34-35.</ref>。「残存物」ともいう<ref name="series91-92"/>。相互作用が無視できるようになった時点でその粒子が相対論的であるか非相対論的であるかに応じて「熱い」残存粒子または「冷たい」残存粒子と呼ばれる。例えば[[宇宙ニュートリノ背景]]は熱い残存粒子であり、[[暗黒物質]]の候補である[[WIMP (暗黒物質)|WIMP]]は冷たい残存粒子モデルに基づくものである。

== 概要 ==
ある粒子 <math>\chi</math> が自身の反粒子 <math>\bar{\chi}</math> との[[対消滅]]チャンネルを持つ場合を考える。この対消滅反応の反応率は反粒子の数密度 <math>n_\bar{\chi}</math>、対消滅断面積 <math>\sigma</math>、粒子速度 <math>v</math> の積
:<math>P = n_\bar{\chi} \sigma v</math>
である<ref name="Profumo47-54"/>。高温高密度状態にある[[初期宇宙]]においてはこの反応が頻繁に起き、粒子 <math>\chi</math> はこの反応を通じて熱平衡にある。やがて宇宙が膨張し温度と数密度が下がると、反応率 <math>P</math> が減少し宇宙の膨張率（[[ハッブル=ルメートルの法則#ハッブルパラメータの変化|ハッブルパラメータ]]）<math>H</math> を下回る。これにより対生成・対消滅反応が実効的に停止し（これを「脱結合 (decoupling)」と呼ぶ）、粒子 <math>\chi</math> の存在量が変化しなくなる<ref name="Profumo34-35"/>。その後この粒子が別の過程により崩壊しない限り、このようにして初期に熱平衡にあった粒子は現在の宇宙にも一定量が存在することになる。これが熱的残存粒子である。

例えば[[ニュートリノ]]は[[弱い相互作用]]により初期宇宙においては[[レプトン (素粒子)|レプトン]]（特に[[電子]]・[[陽電子]]）と相互作用し熱平衡にあるが、およそ温度 1.5 MeV で脱結合し、その後は自由粒子として振る舞う<ref name="Matsubara-jou">{{Cite book |和書 |author=松原隆彦 |year=2014 |title=宇宙論の物理 上 |publisher=東京大学出版会 |isbn=978-4130626156 |pages=92-93}}</ref>。このように初期宇宙において熱的に生成されたニュートリノは現在の宇宙でも[[宇宙ニュートリノ背景]]として存在し続けていると考えられており、間接的な証拠はあるものの、その数密度は一世代あたり112個/cm<sup>3</sup>と小さく<ref name="Matsubara-jou"/>、またエネルギーが小さいため、2016年現在それを実験的に検出することはできていない<ref>{{Cite book |和書 |author=中家剛 |year=2016 |title=ニュートリノ物理 ―ニュートリノで探る素粒子と宇宙―（基本法則から読み解く物理学最前線 9） |publisher=共立出版 |page=41 |isbn=9784320035294}}</ref>。

あるいは、熱的残存粒子は[[暗黒物質]]を生成するシナリオのひとつとして有力視されている。特に相互作用断面積や質量として[[電弱相互作用]]から予想される値を仮定するとき、冷たい残存粒子シナリオはその粒子の現在の量として暗黒物質の存在量を再現するため、この種の粒子（[[WIMP (暗黒物質)|WIMP]]として知られる）は特に有力な暗黒物質の候補となっている<ref name="Profumo39-41"/>。

== 熱的残存粒子の存在量 ==
本節では脱結合後の熱的残存粒子の存在量がどのように決定されるのかを述べる。なお通常の熱的残存粒子シナリオでは問題の粒子 <math>\chi</math> とその反粒子 <math>\bar{\chi}</math> の性質は同じであると仮定する。本記事もこれを仮定するが、[[バリオン数生成]]の理論に動機づけられて粒子・反粒子間に非対称性を導入するモデルもあり、これは[[Asymmetric dark matter]]として知られている<ref>Profumo, pp. 206-210.</ref>。

=== ボルツマン方程式 ===
問題の粒子 <math>\chi</math> はその反粒子 <math>\bar{\chi}</math> との[[対生成]]・[[対消滅]]チャンネルを持つものと仮定する<ref>Profumo, p. 36.</ref>。
:<math>\chi + \bar{\chi} \rightleftharpoons X + \bar{X}</math>
ただしここではすべてのチャンネルで反応先の粒子 <math>X</math>, <math>\bar{X}</math> は輻射温度 <math>T</math> に等しい熱平衡にあるものとする<ref name="Matsubara39">松原, p. 39.</ref>。

この系は一般相対論的な[[ボルツマン方程式]]によって記述されるが、それを積分することにより粒子数密度 <math>n_\chi</math> の時間変化を記述する次の方程式が導かれる<ref>松原, pp. 27-29.</ref><ref>現代の天文学2, pp. 86-90</ref><ref name="Profumo47-54">Profumo, pp. 47-54.</ref>。
:<math>\frac{ d n_\chi }{ d t } + 3 H n_\chi = - \langle \sigma v \rangle \left[ n_\chi^2 - \left( n_\chi^\mathrm{EQ} \right)^2 \right]</math>
左辺第2項は宇宙膨張による希釈を、右辺は対生成・対消滅による粒子数密度の変化を表す。なお右辺の <math>\langle \sigma v \rangle</math> は対消滅断面積と速度の積を熱平均したものであり<ref name="Profumo47-54"/>、<math>n_\chi^\mathrm{EQ}</math> は熱平衡時の数密度
:<math>n_\chi^\mathrm{EQ} = g_\chi \int \frac{ 1 }{ e^{\beta \varepsilon_\mathbf{p}} \mp 1} \frac{ d^3 p }{ ( 2 \pi \hbar )^3 } = g_\chi \frac{ \zeta ( 3 ) k_\mathrm{B}^3 }{ \pi^2 \hbar^3 c^3 } T^3 \times \frac{ 1 }{ 2 \zeta ( 3 ) } \int_0^\infty \frac{ y^2 }{ \exp \sqrt{ x^2 + y^2 } \mp 1 } dy</math>
である。後者は粒子 <math>\chi</math> が相対論的であるときには <math>n_\chi = g'_\chi \frac{ \zeta (3) k_\mathrm{B}^3 }{ \pi^2 \hbar^3 c^3 } T^3</math>, 非相対論的であるときには <math>n_\chi = g_\chi \left( \frac{ m_\chi k_\mathrm{B} T }{ 2 \pi \hbar^2 } \right)^\frac{3}{2} e^{- \beta m_\chi c^2}</math> と書ける。ここに <math>\zeta ( s )</math> は[[リーマンゼータ関数]]（<math>\zeta ( 3 )</math> は[[アペリーの定数]]）、<math>g'_\chi</math> は粒子 &chi; が[[ボース粒子]]であるときその内部自由度 <math>g_\chi</math>、[[フェルミ粒子]]であるとき <math>\frac{ 3 }{ 4 } g_\chi</math> である。

独立変数として時刻 <math>t</math> の代わりに温度 <math>T</math> を用いる。ただし温度は宇宙膨張とともに減少するため、粒子 &chi; の質量 <math>m_\chi</math> で無次元化した変数
:<math>x := \frac{ m_\chi c^2 }{ k_\mathrm{B} T }</math>
を導入する<ref name="Matsubara40">松原, p. 40.</ref><ref name="Profumo39">Profumo, p. 39.</ref>。このとき、<math>x \lesssim 1</math> のとき粒子 <math>\chi</math> は相対論的であり、<math>x \gg 1</math> のとき非相対論的である<ref name="series91-92">現代の天文学2, pp. 91-92.</ref><ref name="Profumo39"/>。さらに、宇宙膨張による希釈の効果には興味がないため、（あらゆる粒子の寄与を考慮した）エントロピー密度 <math>s</math> で規格化した、単位エントロピーあたりの粒子数
:<math>Y := \frac{ n_\chi }{ s }</math>
を用いる<ref name="Matsubara40"/><ref>現代の天文学2, p. 90.</ref>。このとき、上の数密度に関する方程式は次のように書き直せる<ref name="Matsubara41"/><ref>Profumo, p. 54.</ref>。
:<math>\frac{ d Y }{ d x } = - \sqrt{ \frac{ \pi }{ 45 } } \frac{ g_{* S} }{ \sqrt{ g_* } } \frac{ \langle \sigma v \rangle }{ x^2 } \left[ Y^2 - Y_\mathrm{EQ}^2 \right]</math>
ここに <math>g_*</math>, <math>g_{* S}</math> は相対論的な粒子の[[有効自由度 (宇宙論)|有効自由度]]である。

=== 熱い残存粒子 ===
時刻 <math>x_f \lesssim 1</math> にこの粒子が脱結合したとすると、それ以降 <math>Y ( x) = n_\chi ( x ) / s ( x )</math> は近似的に保存する（これを「凍結 (freeze out)」と表現する<ref name="Matsubara41">松原, p. 41.</ref>）。そこで現在の宇宙での値と脱結合の瞬間での値を等置する。
:<math>\frac{ n_\chi ( x_f ) }{ s ( x_f ) } = \frac{ n_{\chi 0} }{ s_0 }</math>
相対論的な粒子の数密度の表式 <math>n_\chi = g'_\chi \frac{ \zeta (3) k_\mathrm{B}^3 }{ \pi^2 \hbar^3 c^3 } T^3</math> およびエントロピー密度の表式 <math>s ( x ) = g_{* S} ( x ) \frac{ 2 \pi^2 k_\mathrm{B}^4 }{ 45 \hbar^3 c^3 } T^3</math> を代入すると、左辺の値は <math>Y_f := \frac{ 45 \zeta ( 3 ) }{ 2 \pi^4 k_\mathrm{B} } \frac{ g'_\chi }{ g_{* S} ( x_f ) }</math> と評価される<ref name="Matsubara42">松原, p. 42.</ref>。

現在の宇宙では粒子 <math>\chi</math> は非相対論的であると仮定すると、その現在のエネルギー密度は
:<math>\rho_{\chi 0} c^2 = m_\chi c^2 n_{\chi 0} = m_\chi c^2 s_0 Y_f</math>
と書ける。従って、粒子 <math>\chi</math> の密度パラメータ <math>\Omega_{\chi 0}</math> は
:<math>\Omega_{\chi 0} = 2 \times \frac{ 8 \pi G \rho_{\chi 0} }{ 3 H_0^2 } = \frac{ 16 \zeta ( 3 ) }{ 3 \pi } \frac{ G m_\chi }{ \hbar^3 c^3 } g_{* S 0} \frac{ ( k_\mathrm{B} T_0 )^3 }{ H_0^2 } \frac{ g' }{ g_{* S} ( x_f ) }</math>
により与えられる<ref name="Matsubara42"/>。なお係数 2 は反粒子 <math>\bar{\chi}</math> の寄与を考慮することを表す。[[宇宙マイクロ波背景放射|CMB]]温度 <math>T_0</math> および[[ハッブル定数]] <math>H_0</math> の観測値を代入すると
:<math>\Omega_{\chi 0} = 0.15 h^{-2} \frac{ g' }{ g_{* S} ( x_f ) } \left( \frac{ m_\chi c^2 }{ 1\,\mathrm{eV} } \right)</math>
という結論を得る<ref name="Matsubara42"/>。

=== 冷たい残存粒子 ===
[[File:Cold relic abundance.svg|thumb|480px|冷たい残存粒子の存在量 <math>Y</math> の温度変化の数値解<ref>松原, p. 44, 図6.5.</ref>。断面積としては温度に依存しないs波対消滅を仮定した。実線、破線、一点短鎖線が異なる <math>\lambda</math> に対する数値解であり、点線は熱平衡が保たれると仮定した場合の値。熱平衡の値 <math>Y_\mathrm{EQ}</math> は指数関数的に減少する。しかし数値解は脱結合により断面積に依存したある時点で熱平衡からの値から逸脱し、ある値 <math>Y ( \infty )</math> で「凍結」する。]]
粒子 <math>\chi</math> が温度 <math>T</math> の熱平衡にあるとき、それが非相対論的である (<math>k_\mathrm{B} T \ll m_\chi c^2</math>) ならば、その数密度 <math>n_\chi</math> は
:<math>n_\chi = g_\chi \left( \frac{ m_\chi k_\mathrm{B} T }{ 2 \pi \hbar^2 } \right)^\frac{3}{2} e^{- \beta m_\chi c^2}</math>
と書ける。従って熱平衡にあるときの <math>Y</math> の値は
:<math>Y_\mathrm{EQ} ( x ) = \frac{ 45 }{ 4 \sqrt{ 2 } \pi^{7/2} } \frac{ g_\chi }{ g_{* S} ( x ) } x^\frac{3}{2} e^{-x}</math>
と表示できる<ref name="Matsubara43">松原, p. 43.</ref>。この場合の最終的な粒子 <math>\chi</math> の存在量は <math>Y</math> に関する方程式を数値的に解くことによって求められる。

しばしば <math>\langle \sigma v \rangle</math> が温度のべき乗の依存性を持つと仮定される<ref name="Matsubara43"/><ref>Profumo, p. 55.</ref>: <math>\langle \sigma v \rangle \propto T^n</math>。この場合、定数 <math>\lambda</math> を
:<math>\lambda := \left. \frac{ s }{ H } \langle \sigma v \rangle \right|_{x = 1}</math>
により定義すると、<math>Y</math> に関する方程式は
:<math>\frac{ d Y }{ d x } = - \frac{ \lambda }{ x^{n+2} } \left[ Y^2 - Y_\mathrm{EQ}^2 \right]</math>
と書き直せる<ref name="Matsubara43"/>。いくつかの <math>\lambda</math> に対する数値解を図に示す。ここからわかるように、初期には解 <math>Y ( x )</math> は熱平衡の場合の値 <math>Y_\mathrm{EQ}</math> に一致するが、ある時刻 <math>x_f</math> でそこから逸脱する。この時刻はガモフの基準により方程式
:<math>x_f^{n - \frac{1}{2}} e^{x_f} = \frac{ 45 }{ 4 \sqrt{ 2 } \pi^{7/2} } \frac{ g_\chi }{ g_{* S} } \lambda</math>
を満足する値 <math>x_f</math> として概算できる<ref name="Matsubara44">松原, p. 44.</ref>。その後、対生成・対消滅反応が停止し、<math>Y</math> は最終的な値 <math>Y ( \infty )</math> に「凍結」する。その値は
:<math>Y ( \infty ) \sim Y_\mathrm{EQ} ( x_f ) = \frac{ x_f^{n+1} }{ \lambda }</math>
である<ref name="Matsubara45">松原, p. 45.</ref>。

現在の宇宙における冷たい残存粒子の密度パラメータ <math>\Omega_{\chi 0}</math> は次のように求まる<ref name="Matsubara45"/>。
:<math>\Omega_{\chi 0} = 2 \times \frac{ 8 \pi G }{ 3 H_0^2 } m_\chi s_0 Y ( \infty ) = \frac{ 32 \pi^{5/2} }{ 9 \sqrt{5} m_\mathrm{Pl}^3 } \frac{ g_{* S 0} T_0^3 }{ H_0^2 } \frac{ \sqrt{ g_* } }{ g_{* S} \langle \sigma v \rangle_1 } x_f^{n+1}</math>

== 観測的制限 ==
=== 熱い残存粒子 ===
熱い残存粒子が現在の宇宙に非相対論的な粒子として存在するならば、それは[[ホットダークマター]]として知られるタイプの[[暗黒物質]]として振る舞うが、その存在は宇宙論的観測によって棄却されている<ref>松原, p. 41-42.</ref>。そのため、熱い残存粒子の密度パラメータは現在の暗黒物質の量 <math>\Omega_{c 0} = 0.2582</math> に比べて十分小さい必要があり、このことから熱い残存粒子の質量 <math>m_\chi</math> に上限が与えられる。例えば[[ニュートリノ]]の場合、この考察から <math>m_\nu \ll 10\,\mathrm{eV}</math> という制限が得られる<ref name="Matsubara42"/>。ただしこの種の制限は <math>g_* ( x_f )</math> の値を通じて断面積の大きさに依存し、断面積が小さく <math>g_* ( x_f ) \geq 106.75</math> で凍結する場合には熱い残存粒子の質量の上限は <math>10\,\mathrm{eV}</math> 程度まで緩和される<ref name="Matsubara43"/>。

=== 冷たい残存粒子 ===
冷たい残存粒子は[[コールドダークマター]]と呼ばれるタイプの暗黒物質となる<ref name="Matsubara43"/>。冷たい残存粒子の存在量は強く対消滅断面積に依存するため、質量に関する制限もまたその相互作用モデルに強く依存する<ref name="Matsubara45"/>が、宇宙論的に意味のある量の残存粒子が生成されるためには断面積は極めて小さい必要がある<ref>現代の天文学2, p. 92.</ref>。一般論としては、理論の[[ユニタリー性 (物理学)|ユニタリー性]]により相互作用断面積は粒子質量と
:<math>\sigma \lesssim \frac{ 4 \pi }{ m_\chi^2 }</math>
という関係にあるため、<math>\Omega_\chi \lesssim 0.2</math> は <math>m_\chi \lesssim 120\,\mathrm{TeV}</math> を要求する<ref>Profumo, p. 42.</ref>。

具体的に相互作用断面積およびその質量として[[電弱相互作用]]から示唆される値を用いるとき、冷たい残存粒子シナリオが予測する暗黒物質量は現在の観測値を「奇跡的」に再現する<ref name="Profumo39-41">Profumo, pp. 39-41.</ref>。この事実は「WIMPの奇跡<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news23/02J_FEATURE.pdf |title=なぜWIMPを探すのか、どうやって捕らえるのか |author=カイ・マルテンス |accessdate=2020-08-01}}</ref> (WIMP miracle)」として知られており<ref name="Profumo39-41"/>、暗黒物質が weakly interacting massive particle ([[WIMP (暗黒物質)|WIMP]]) と呼ばれる種類の素粒子であると考える根拠のひとつとなっている。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |和書 |author=松原隆彦 |year=2014 |title=宇宙論の物理 下 |publisher=東京大学出版会 |isbn=978-4130626163}}
*{{Cite book |和書 |editor=佐藤勝彦, 二間瀬敏史 |title=シリーズ現代の天文学2 宇宙論１ |publisher=日本評論社 |edition=第2版 |year=2012 |isbn=978-4535607392}}
*{{Cite book |last=Profumo |first=Stefano |year=2017 |title=An Introduction To Particle Dark Matter |publisher=World Scientific Publishing Europe |isbn=978-1786340016}}

== 関連項目 ==
*[[宇宙の年表]]
*[[暗黒物質]]
**[[WIMP (暗黒物質)|WIMP]], [[Asymmetric dark matter]]

{{DEFAULTSORT:ねつてきさんそんりゆうし}}
[[Category:宇宙論]]
[[Category:暗黒物質]]
[[Category:天文学に関する記事]]