片側極限のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年9月}}
[[数学]]の[[微分積分学]]における'''片側極限'''（かたがわきょくげん、{{Lang-en-short|one-sided limit}}）とは、[[実数|実]]変数[[関数 (数学)|関数]] ''f''(''x'') の ''x'' が、ある点に上側あるいは下側から近付くときに得られる二つの[[極限]]のいずれかのことを言う。''x'' が ''a'' に減少する形で近付く（''x'' が ''a'' に「右から」あるいは「上から」近付く）時の極限は

:<math>\lim_{x\to a^+}f(x),\; \lim_{x\downarrow a}\,f(x),\; \lim_{x \searrow a}\,f(x),\; \lim_{x \to a+0}\,f(x)</math>

などと書く。同様に、''x'' が ''a'' に増加する形で近付く（''x'' が ''a'' に「左から」あるいは「下から」近付く）時の極限は

:<math>\lim_{x\to a^-}f(x),\;\lim_{x\uparrow a}\, f(x),\; \lim_{x \nearrow a}\,f(x),\;\lim_{x \to a-0}\,f(x)</math>

などと書く。

''f''(''x'') の ''x'' が ''a'' に近付く時の通常の意味での極限が存在するなら、二つの片側極限は存在し、それらは一致する。極限

:<math>\lim_{x\to a} f(x)\,</math>

が存在しなくても、二つの片側極限が存在する場合もある。そのため、''x'' が ''a'' に近付く時の極限を'''両側極限'''と呼ぶこともある。片側極限の一方は存在するがもう一方は存在しない場合や、いずれの片側極限も存在しない場合もあり得る。

右側極限は、次のように厳密に定義することが出来る：

:<math>\lim_{x\to a^+}f(x)=L\ :\Leftrightarrow\ ({}^{\forall}\varepsilon > 0)({}^{\exists} \delta >0)({}^{\forall} x \in I)[0 < x - a < \delta \Longrightarrow |f(x) - L|<\varepsilon]</math>

同様に、左側極限は次のように厳密に定義することが出来る：

:<math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L\ :\Leftrightarrow\ ({}^{\forall}\varepsilon > 0)({}^{\exists} \delta >0)({}^{\forall} x \in I)[0 < a - x < \delta \Longrightarrow |f(x) - L|<\varepsilon]</math>


ここで <math> I </math> は <math>f</math> の定義域に含まれるある区間を表す。

== 例 ==
片側極限がそれぞれ異なるような関数の例として、次が挙げられる：
:<math>\lim_{x \to 0+} \frac{1}{1 + 2^{-1/x}} = \lim_{y \to -\infty} \frac{1}{1 + 2^{y}} = 1 \quad (y = -1/x)</math>
であるが、
:<math>\lim_{x \to 0-} \frac{1}{1 + 2^{-1/x}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{1 + 2^{y}} = 0 \quad (y = -1/x)</math>
となり、二つの片側極限は一致しない。

== 位相空間論的な極限の定義との関係 ==
ある点 ''p'' への片側極限は、関数の定義域が位相空間の部分集合であることを許すか、あるいは ''p'' を含む片側部分空間を考えることによって、その定義域が片側に制限されたときの、[[関数の極限|極限の一般的な定義]]に対応する。

== アーベルの定理 ==
ある冪級数の、[[収束半径|収束区間]]の境界における片側極限を扱った注目すべき定理に、[[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]がある。

== 関連項目 ==
* [[実射影直線]]

== 外部リンク ==
*{{planetmath reference|title=One-sided limit|id=2950}}

{{DEFAULTSORT:かたかわきよくけん}}
[[Category:解析学]]
[[Category:関数]]
[[Category:極限 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]