特異測度のソースを表示

[[数学]]の分野において、ある[[可測空間]] (&Omega;, &Sigma;) 上で定義される二つの正（あるいは[[符号付測度|符号付]]または[[複素測度|複素]]）測度 ''&mu;'' および ''&nu;'' が'''特異'''（とくい、{{Lang-en-short|singular}}）であるとは、&Sigma; 内の二つの互いに素な集合 ''A'' と ''B'' で、その[[合併]]が &Omega; であり、''B'' のすべての可測部分集合上で ''&mu;'' がゼロとなり、''A'' のすべての可測部分集合上で ''&nu;'' がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は <math>\mu \perp \nu </math> と表される。

[[ルベーグの分解定理]]の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と[[離散測度]]に区分している。例としては下記を参照されたい。

== '''R'''<sup>''n''</sup> 上の例 ==
特別な例として、[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上の[[ルベーグ測度]]に関して特異的であることを言う。例えば、[[ディラックのデルタ関数]]は特異測度である。

'''例'''  [[離散測度]]

[[実数直線]]上の[[ヘヴィサイドの階段関数]]

: <math>H(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 0, & x < 0; \\ 1, & x \geq 0; \end{cases}</math>

は、その分布的導関数（distributional derivative）として[[ディラックのデルタ関数]] <math>\delta_0</math> を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量（point mass）を持つ。しかし、[[ディラック測度]] <math>\delta_0</math> はルベーグ測度 <math>\lambda</math> に関して絶対連続ではなく、<math>\lambda</math> も <math>\delta_0</math> に関して絶対連続では無い。すなわち、<math>\lambda ( \{ 0 \} ) = 0</math> であるが <math>\delta_0 ( \{ 0 \} ) = 1</math> であり、また <math>U</math> を任意の空でない[[開集合]]で 0 を含まないものとするなら、<math>\lambda (U) > 0</math> であるが <math>\delta_0 (U) = 0</math> である。

'''例'''  特異連続測度

[[カントール分布]]は連続であるが[[絶対連続]]では無い[[累積分布関数]]であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。

== 関連項目 ==
* [[ルベーグの分解定理]]
* [[絶対連続]]
* [[特異分布]]

== 参考文献 ==
* Eric W Weisstein, ''CRC Concise Encyclopedia of Mathematics'', CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
* J Taylor, ''An Introduction to Measure and Probability'', Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

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[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]