状態数のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年4月}}
'''状態数'''（じょうたいすう、{{lang-en-short|number of states}}）は、[[統計力学]]において、[[系 (自然科学)|系]]のエネルギーが（マクロにみて）ある値をとるときに、系が取りうる（ミクロな）[[状態]]の数である。[[ミクロカノニカルアンサンブル]]における[[分布関数]]の[[正規化#数量|正規化]]係数として現れる。

== 定義 ==
系が取り得る全ての状態の集合（[[標本空間]]）を {{math|&Omega;}} とする。系の[[エネルギー]]がマクロにみて {{mvar|E}} であるときに系が取り得る状態の集合を {{math|&Omega;(''E'')}} とするとき、'''状態数''' {{math|''W''(''E'')}} は
{{Indent|
<math>W(E) =\sum_{\omega\in\Omega} \chi_{\Omega(E)}(\omega) =\sum_{\omega\in\Omega(E)} 1</math>
}}
によって定義される。
ここで {{mvar|&chi;}} は部分集合 {{math|&Omega;(''E'')}} の[[指示関数]]で、{{mvar|&omega;}} が {{math|&Omega;(''E'')}} に属すならば 1 を、さもなくば 0 を返す関数である。
{{Indent|
<math>\chi_{\Omega(E)}(\omega) =
\begin{cases}
 1 & \omega\in\Omega(E) \\
 0 & \omega\notin\Omega(E) \\
\end{cases}</math>
}}

系がミクロな状態 {{mvar|&omega;}} をとるときのエネルギーが <math>\mathcal{E}(\omega)</math> により与えられるものとする。
系のエネルギーがマクロにみて {{mvar|E}} であるという条件を、エネルギー幅 {{mvar|&delta;E}} の間に入ることとする。
すなわち、部分集合 {{math|&Omega;(''E'')}} が
{{Indent|
<math>\Omega(E) =\{ \omega\in\Omega; E-\delta E< \mathcal{E}(\omega) \le E \}</math>
}}
で表される。このとき[[ディラックのデルタ関数]]を用いれば指示関数は
{{Indent|
<math>\chi_{\Omega(E)}(\omega) =\int_{E-\delta E}^E \delta(E' -\mathcal{E}(\omega))\, dE'</math>
}}
と書き換えられる。

=== 状態密度 ===
デルタ関数を用いて指示関数で書き換えるとき、マクロなエネルギー {{mvar|E}} の積分がミクロな状態 {{mvar|&omega;}} の和と入れ替え可能であると仮定すれば、状態数は
{{Indent|
<math>W(E) =\int_{E-\delta E}^E D(E')\, dE'</math>
}}
と書き換えられる。
ここで被積分関数 {{math|''D''(''E'')}} は
{{Indent|
<math>D(E) =\sum_{\omega\in\Omega} \delta(E -\mathcal{E}(\omega))</math>
}}
であり、[[状態密度]]と呼ばれる。エネルギーの幅 {{mvar|&delta;E}} を無限大へと拡張したときの状態数 {{math|''N''(''E'')}} は
{{Indent|
<math>N(E) =\int_{-\infty}^E D(E)\, dE</math>
}}
で定義される。{{math|''N''(''E'')}} は系のエネルギーがマクロにみて {{mvar|E}} 以下である状態の数である。

量子系においては状態が離散的であり、状態数も離散的な数となる。しかし、通常の統計力学においては非常に膨大な数の状態を扱い、状態数は連続的な関数であるとみなすことができる。

== 古典系 ==
ミクロな力学系が[[古典力学]]で記述される場合を考える。すなわち標本空間 {{mvar|&Omega;}} とは[[位相空間 (物理学)|位相空間]]であり、ミクロな状態は[[正準変数]]の組 ({{mvar|p,q}}) により指定される。
位相空間の[[測度]]は、1対の正準変数 {{mvar|dp dq}} ごとに[[プランク定数]] {{mvar|h}} で割る約束で、状態に対する和が
{{Indent|
<math>\sum_{\omega\in\Omega} \to \frac{1}{h^f} \int d^fp\, d^fq</math>
}}
で置き換えられる。ここで {{mvar|f}} は力学的[[自由度]]であり、3次元空間の {{mvar|N}}-粒子系であれば、{{math|1=''f'' = 3''N''}} である。

ミクロな状態 ({{mvar|p,q}}) に対して、エネルギーは[[ハミルトン関数]] <math>\mathcal{H}(p,q)</math> で与えられる。
状態密度は
{{Indent|
<math>D(E) =\frac{1}{h^f} \int \delta(E -\mathcal{H}(p,q))\, d^fp\, d^fq</math>
}}
として得られる。

== フェルミ分布 ==
ある1粒子系を考えたとき、1粒子状態密度 {{math|''D''{{sub|1}}(''E'')}} はこの系の[[エネルギー準位]]の密度分布を表す。この系をn-粒子系に拡張したときにエネルギー準位の密度分布が変化しないとする。この系が[[フェルミ統計|フェルミ系]]であるとき、状態数 {{math|''N''(''E'')}} が粒子数 {{mvar|n}} と等しくなるエネルギー {{math|''E''{{sub|F}}}} は[[フェルミエネルギー]]と呼ばれる。
{{Indent|
<math>n =N(E_\text{F}) =\int_{-\infty}^{E_\text{F}} D_1(E)\, dE</math>
}}
フェルミ系において、各エネルギー準位には1つの粒子しか入らない。系が基底状態にあるときには粒子はエネルギーが小さい準位から占有していき、フェルミエネルギーに等しい準位までが占有される。

[[絶対零度]]において系は基底状態にある。エネルギー準位によって決まる物理量は
{{Indent|
<math>A =\int_{-\infty}^{E_\text{F}} \mathcal{A}(E) D_1(E)\, dE</math>
}}
となる。絶対零度において、フェルミエネルギーより上の準位には粒子が存在しないので、積分範囲はフェルミエネルギーまでとなる。これを[[ヘヴィサイドの階段関数]]を用いて
{{Indent|
<math>A =\int_{-\infty}^\infty \mathcal{A}(E) \eta(E_\text{F}-E) D_1(E)\, dE</math>
}}
と表す。有限温度においては、[[温度]]による励起の影響を反映して、階段関数が置き換えられて
{{Indent|
<math>A =\int_{-\infty}^\infty \mathcal{A}(E) f(E) D_1(E)\, dE</math>
}}
となる。このときの {{math|''f''(''E'')}} が[[フェルミ分布関数]]である。

== 関連項目 ==
* [[統計力学]]
* [[分配関数]]（状態和）
* [[量子力学]]
* [[フェルミ・ディラック統計]]

{{DEFAULTSORT:しようたいすう}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:量子力学]]